Tips och lösning till U 11.14b
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Undersök först om vektorerna är linjärt beroende eller linjärt oberoende.
Tips 2
Vi sätter då upp ekvationssystemet\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3+\lambda_4\boldsymbol{v}_4=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrrr}1&1&-1&1\\-1&-1&1&-1\\2&3&0&5\\1&2&1&4\end{array}\right|\left. \begin{array}{l} 0\\0\\0\\0\end{array}\right) \quad\Leftrightarrow\cdots\Leftrightarrow\quad \left(\begin{array}{rrrr}1&1&-1&1\\0&0&0&0\\0&1&2&3\\0&0&0&0\end{array}\right|\left.
\begin{array}{l} 0\\0\\0\\0\end{array}\right)Tips 3
Man inser nu att man kan ta bort de två sista kolonnerna, vilket leder till att dimensionen är två. För att utvidga till en bas sätter vi upp ekvationssystemet\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3'+\lambda_4\boldsymbol{v}_4'=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrrr}1&1&?&?\\-1&-1&?&?\\2&3&?&?\\1&2&?&?\end{array}\right|\left. \begin{array}{l}0\\0\\0\\0\end{array}\right) \quad\Leftrightarrow\cdots\Leftrightarrow\quad \left(\begin{array}{rrrr}1&1&?&?\\0&0&?&?\\0&1&?&?\\0&0&?&?\end{array}\right|\left. \begin{array}{l} 0\\0\\0\\0\end{array}\right).
Lösning
\displaystyle V=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{v}_4] . Vi undersöker linjärt oberoende:
\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3+\lambda_4\boldsymbol{v}_4=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrrr}1&1&-1&1\\-1&-1&1&-1\\2&3&0&5\\1&2&1&4\end{array}\right|\left. \begin{array}{l} 0\\0\\0\\0\end{array}\right) \quad\Leftrightarrow\cdots\Leftrightarrow\quad \left(\begin{array}{rrrr}1&1&-1&1\\0&0&0&0\\0&1&2&3\\0&0&0&0\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrrr|r}1&1&-1&1&0\\0&0&0&0&0\\0&1&2&3&0\\0&0&0&0&0\end{array}\right).
Sätter vi \displaystyle \lambda_4=t , \displaystyle \lambda_3=s , får vi \displaystyle \lambda_2=-2s-3t och \displaystyle \lambda_1=3s+4t . Insatt i relationen får vi
(3s+4t)\boldsymbol{v}_1+(-2s-3t)\boldsymbol{v}_2+s\boldsymbol{v}_3+t\boldsymbol{v}_4=\boldsymbol{0}.
Väljer vi \displaystyle s=0 och \displaystyle t=1 får vi linjärkombinationen
Väljer vi däremot \displaystyle s=1 och \displaystyle t=0 får vi linjärkombinationen
3\boldsymbol{v}_1-2\boldsymbol{v}_2+\boldsymbol{v}_3=\boldsymbol{0}\Rightarrow\boldsymbol{v}_3=-3\boldsymbol{v}_1+2\boldsymbol{v}_2.
Alltså klarar vi oss utan \displaystyle \boldsymbol{v}_3 och \displaystyle \boldsymbol{v}_4 och det gäller att
V=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3,\boldsymbol{v}_4]=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2]
samt att \displaystyle \dim V=2 .
Vi utvidgar med \displaystyle \boldsymbol{v}_3' och \displaystyle \boldsymbol{v}_4' som inte ligger i \displaystyle V , så att \displaystyle \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3',\boldsymbol{v}_4'\} blir en bas för hela \displaystyle {\bf R^4} .
\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3'+\lambda_4\boldsymbol{v}_4'=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrrr}1&1&?&?\\-1&-1&?&?\\2&3&?&?\\1&2&?&?\end{array}\right|\left. \begin{array}{l}0\\0\\0\\0\end{array}\right) \quad\Leftrightarrow\cdots\Leftrightarrow\quad \left(\begin{array}{rrrr}1&1&?&?\\0&0&?&?\\0&1&?&?\\0&0&?&?\end{array}\right|\left. \begin{array}{l} 0\\0\\0\\0\end{array}\right).
Väljer vi \displaystyle \boldsymbol{v}_3'=(0,1,0,0)^t och \displaystyle \boldsymbol{v}_3'=(0,0,0,1)^t , så gäller
\left(\begin{array}{rrrr}1&1&0&0\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{l}0\\0\\0\\0\end{array}\right) \quad\Leftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{rcr}\lambda_1&=&0\\\lambda_2&=&0\\\lambda_3&=&0\\\lambda_4&=&0\end{array}\right.
