Tips och lösning till U 11.15a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Sök de vektorer som spänner upp U.
Tips 2
Genom att parametrisera det givna hyperplanet får du de vektorer som spänner upp planet. Observera att parametriseringen kan göras på flera sätt varför du kan få olika vektorer, men antalet (=dimensionen) blir detsamma.
Tips 3
Du skall sedan fylla ut till en bas. Vi använder metoden med en etta på lämpligt ställe och resten av koordinaterna som nollor. Observera vidare att du måste visa dina påståendet efter dina kvalificerade gissningar.
Lösning
Dimensionen för \displaystyle U är antal linjärt oberoende
vektorer som spänner upp \displaystyle U . Sätt \displaystyle x_2=t . Då är \displaystyle x_1=-t . Vidare, sätt \displaystyle x_3=s och \displaystyle x_4=r .
Då kan alla \displaystyle \boldsymbol{x}\in U ges på formen
\boldsymbol{x}=t(-1,1,0,0)^t+s(0,0,1,0)^t+r(0,0,0,1)^t.
Nu är vektorerna \displaystyle (-1,1,0,0)^t , \displaystyle (0,0,1,0)^t och \displaystyle 0,0,0,1)^t linjärt oberoende, ty beroendesambandet
\lambda_1 (-1,1,0,0)^t+\lambda_2(0,0,1,0)^t+\lambda_3(0,0,0,1)^t =\boldsymbol{0}
\Leftrightarrow
\left(\begin{array}{rrr}-1&0&0\\1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{l}0\\0\\0\\0\end{array}\right)
har endast den triviala lösningen \displaystyle \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0 . Detta betyder att \displaystyle (-1,1,0,0)^t , \displaystyle (0,0,1,0)^t och \displaystyle 0,0,0,1)^t är en bas för \displaystyle U och att \displaystyle \dim U=3 . Vi undersöker nu om vi kan få en bas för hela \displaystyle {\bf R}^4 genom att komplettera basen för \displaystyle U med vektorn \displaystyle (1,0,0,0)^t . Eftersom beroendesambandet
\lambda_1 (-1,1,0,0)^t+\lambda_2(0,0,1,0)^t+\lambda_3(0,0,0,1)^t+\lambda_4(1,0,0,0)^t =\boldsymbol{0}
\Leftrightarrow
\left(\begin{array}{rrrr}-1&0&0&1\\1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\end{array}\right|\left. \begin{array}{l} 0\\0\\0\\0\end{array}\right)
har endast den triviala lösningen \displaystyle \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=\lambda_4=0 , så har vi visat att \displaystyle (-1,1,0,0)^t , \displaystyle (0,0,1,0)^t , \displaystyle (0,0,0,1)^t och \displaystyle (1,0,0,0)^t är linjärt oberoende och därmed bas för hela \displaystyle {\bf R}^4 .
