Tips och lösning till U 11.16
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
För att finna dimensionen för snittet så söker du de vektorer som tillhör båda mängderna.
Tips 2
En vektor \displaystyle \boldsymbol{x} tillhör \displaystyle U om det finns tal \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 så att
\boldsymbol{x}=\lambda_1 (1,2,0,1)^t + \lambda_2(1,1,1,0)^t.
Vektorn \displaystyle \boldsymbol{x} tillhör också \displaystyle V om det finns tal \displaystyle \mu_1 och \displaystyle \mu_2 så att
\boldsymbol{x}=\mu_1(1,0,1,0)^t+\mu_2(1,3,0,1)^t.
Tips 3
Du får då ekvationssystemet\lambda_1 (1,2,0,1)^t + \lambda_2(1,1,1,0)^t-\mu_1(1,0,1,0)^t-\mu_2(1,3,0,1)^t=(0,0,0,0)^t
Lösning
En vektor \displaystyle \boldsymbol{x} tillhör \displaystyle U om det finns tal \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 så att
\boldsymbol{x}=\lambda_1 (1,2,0,1)^t + \lambda_2(1,1,1,0)^t.
Vektorn \displaystyle \boldsymbol{x} tillhör också \displaystyle V om det finns tal \displaystyle \mu_1 och \displaystyle \mu_2 så att
\boldsymbol{x}=\mu_1(1,0,1,0)^t+\mu_2(1,3,0,1)^t.
Detta betyder att
\lambda_1 (1,2,0,1)^t + \lambda_2(1,1,1,0)^t=\mu_1(1,0,1,0)^t+\mu_2(1,3,0,1)^t,\qquad(*)
dvs
\lambda_1 (1,2,0,1)^t + \lambda_2(1,1,1,0)^t-\mu_1(1,0,1,0)^t-\mu_2(1,3,0,1)^t=(0,0,0,0)^t\qquad(**)
dvs
\left(\begin{array}{rrrr}1&1&-1&-1\\2&1&0&-3\\0&1&-1&0\\1&0&0&-1\end{array}\right|\left. \begin{array}{l} 0\\0\\0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrrr}1&1&-1&-1\\0&-1&2&-1\\0&1&-1&0\\0&-1&1&0\end{array}\right|\left. \begin{array}{l}0\\0\\0\\0\end{array}\right)
Vi ser att sista raden blir en nollrad efter radoperationer. Vi sätter \displaystyle \mu=t . Då får vi \displaystyle \lambda_2=t . Rad 2 ger att \displaystyle \mu_2=t och rad 1 ger att \displaystyle \lambda_1=t . Vi sätter in dessa värden i (*) eller i (**) och får att \displaystyle \boldsymbol{x}=t(2,3,1,1)^t . Alltså är \displaystyle U\cap V=[(2,3,1,1)^t] och \displaystyle \dim U\cap V=1 .
