Tips och lösning till U 11.4b
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Vi använder nu definition 10.12. Man kan kombinera pkt 1 och 2 i definitionen till ett villkor.
Tips 2
Villkoret blir att om \displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t och \displaystyle \boldsymbol{v}=(y_1,y_2,y_3,y_4)^t tillhör \displaystyle U så ska även linjärkombinationen \displaystyle \lambda\boldsymbol{u}+\mu\boldsymbol{v} tillhöra \displaystyle U .
Tips 3
Sätt nu in \displaystyle \lambda\boldsymbol{u}+\mu\boldsymbol{v}= \lambda (x_1,x_2,x_3,x_4)^t+\mu (y_1,y_2,y_3,y_4)^t= (\lambda x_1+\mu y_1,\lambda x_2+\mu y_2,\lambda x_3+\mu y_3,\lambda x_4+\mu y_4)^t, i ekvationen för \displaystyle U . Stämmer det?
Lösning
För att visa att \displaystyle U är ett underrum räcker det att visa om
\displaystyle \boldsymbol{u}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t och \displaystyle \boldsymbol{v}=(y_1,y_2,y_3,y_4)^t tillhör \displaystyle U så tillhör även
linjärkombinationen
\displaystyle \lambda\boldsymbol{u}+\mu\boldsymbol{v} också \displaystyle U .
Antag därför att \displaystyle \boldsymbol{u},\boldsymbol{v}\in U . Eftersom
\lambda\boldsymbol{u}+\mu\boldsymbol{v}= \lambda (x_1,x_2,x_3,x_4)^t+\mu (y_1,y_2,y_3,y_4)^t= (\lambda x_1+\mu y_1,\lambda x_2+\mu y_2,\lambda x_3+\mu y_3,\lambda x_4+\mu y_4)^t,
så får vi om detta sätts in i ekvationen för \displaystyle U att
(\lambda x_1+\mu y_1)-(\lambda x_2+\mu y_2)-(\lambda x_3+\mu y_3) +(\lambda x_4+\mu y_4)
=\lambda(x_1-x_2-x_3+x_4)+\mu(y_1-y_2-y_3+y_4)=\lambda\cdot0+\mu\cdot0=0.
Alltså har vi visat att \displaystyle \lambda\boldsymbol{u}+\mu\boldsymbol{v} \in U och därmed
är \displaystyle U ett underrum i \displaystyle {\bf R}^4 .
