Tips och lösning till U 11.6

Tips 1

Definitionen på linjärt beroende finner vi som definition 10.46. Definitionen innebär att minst en av vektorerna kan skrivas som en linjärkombination av de övriga.

Tips 2

Vi börjar med att direkt utnyttja definitionen, dvs vi ska finna tal \displaystyle \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 och \displaystyle \lambda_4 ej alla noll så att \displaystyle \lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3+\lambda_4\boldsymbol{v}_4=\boldsymbol{0}. . Detta leder till ett ekvationssystem.

Tips 3

Ekvationssystemet blir \displaystyle \left(\begin{array}{ccc} 1&2&3&4\\0&2&1&1\\1&0&0&1\\4&0&2&6 \end{array}\right|\left. \begin{array}{l} 0\\ 0\\ 0 \\ 0\end{array}\right). Lösningen av detta system visar att vektorerna är linjärt beroende. Dessutom kan du ur detta samband se vilken/vilka vektorer som är en linjärkombination av de övriga. Kom ihåg vad som stod under tips 1 att minst en av vektorerna kan skrivas som en linjärkombination av de övriga om vektorerna är linjärt beroende. Det betyder att det kan finnas vektorer som ej kan skrivas som en linjärkombination av de övriga och så blir det i detta fall.

Lösning

Vektorerna är linjärt beroende om det finns tal \displaystyle \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 och \displaystyle \lambda_4 ej alla noll så att

Dvs

som har lösningen \displaystyle \lambda_4=t , \displaystyle \lambda_3=-t , \displaystyle \lambda_2=0 och \displaystyle \lambda_1=-t .

Alltså gäller relationen

Vi ser att \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\boldsymbol{v}_4-\boldsymbol{v}_1 men att \displaystyle \boldsymbol{v}_2 inte är en linjärkombination i de övriga.