Tips och lösning till U 11.7

Tips 1

Återigen använder vi definition 10.46

Tips 2

Vi tar reda på för vilka värden på a som vektorerna är linjärt beroende, dvs vektorerna är linjärt beroende om det finns tal 123 och 4 ej alla noll så att 11+22+33+44=0

Tips 3

Vi får då ekvationssystemet aaaa1aa112a2212a=A1234==0000A=0 . Vi använder nu determinantvillkoret i sats 8.17 för att ta reda på när detta ekvationssystem har flera lösningar än den triviala. Då är vektorerna linjärt beroende.

Lösning

Vektorerna är linjärt beroende om det finns tal 123 och 4 ej alla noll så att

11+22+33+44=0

Denna relation kan på matrisform skrivas

aaaa1aa112a2212a=A1234==0000A=0

Enligt Sats 8.17 har systemet A=0 den entydiga lösningen =0 om detA=0 och därmed är M linjärt oberoende.

Vi bryter ut a från kolonn 1:

detA=a11111aa112a2212a=10001a−1a−1011a−112−10a−2

Utveckla efter kolonn 1 och bryt ut a−1 från rad 2. Ta Kolonn 2 minus kolonn 1:

detA=(−1)1+11a(a−1)a−110111−10a−2=a(a−1)=a(a−1)a−1102−a01−10a−2

Utveckla efter rad 2:

detA=(−1)2+1a(a−1)1(−(a−2)2+1)=0

för a=1 eller a=3.

Alltså är vektorerna linjärt beroende om a=013.