Tips och lösning till U 11.7
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Återigen använder vi definition 10.46
Tips 2
Vi tar reda på för vilka värden på a som vektorerna är linjärt beroende, dvs vektorerna är linjärt beroende om det finns tal \displaystyle \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 och \displaystyle \lambda_4 ej alla noll så att \displaystyle \lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3+\lambda_4\boldsymbol{v}_4=\boldsymbol{0}.
Tips 3
Vi får då ekvationssystemet \displaystyle \underbrace{\left(\begin{array}{rrrr}a&1&1&2\\a&a&2&1\\a&a&a&2\\a&1&2&a\end{array}\right)}_{=A}\cdot \underbrace{\left(\begin{array}{r}\lambda_1\\\lambda_2\\\lambda_3\\\lambda_4\end{array}\right)}_{=\boldsymbol{\lambda}}=\left(\begin{array}{r}0\\0\\0\\0\end{array}\right)\Leftrightarrow A\boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{0}. . Vi använder nu determinantvillkoret i sats 8.17 för att ta reda på när detta ekvationssystem har flera lösningar än den triviala. Då är vektorerna linjärt beroende.
Lösning
Vektorerna är linjärt beroende om det finns tal \displaystyle \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 och \displaystyle \lambda_4 ej alla noll så att
Denna relation kan på matrisform skrivas
\underbrace{\left(\begin{array}{rrrr}a&1&1&2\\a&a&2&1\\a&a&a&2\\a&1&2&a\end{array}\right)}_{=A}\cdot \underbrace{\left(\begin{array}{r}\lambda_1\\\lambda_2\\\lambda_3\\\lambda_4\end{array}\right)}_{=\boldsymbol{\lambda}}=\left(\begin{array}{r}0\\0\\0\\0\end{array}\right)\Leftrightarrow A\boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{0}.
Enligt Sats 8.17 har systemet \displaystyle A\boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{0} den entydiga lösningen \displaystyle \boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{0} om \displaystyle \det A\neq0 och därmed är \displaystyle M linjärt oberoende.
Vi bryter ut \displaystyle a från kolonn 1:
\det A=a\left|\begin{array}{rrrr}1&1&1&2\\1&a&2&1\\1&a&a&2\\1&1&2&a\end{array}\right| =\left|\begin{array}{cccc}1&1&1&2\\0&a-1&1&-1\\0&a-1&a-1&0\\0&0&1&a-2\end{array}\right|.
Utveckla efter kolonn 1 och bryt ut \displaystyle a-1 från rad 2. Ta Kolonn 2 minus kolonn 1:
\det A=(-1)^{1+1}\cdot1\cdot a\cdot(a-1)\cdot \left|\begin{array}{ccc}a-1&1&-1\\1&1&0\\0&1&a-2\end{array}\right|. =a(a-1)=a(a-1) \left|\begin{array}{ccc}a-1&2-a&-1\\1&0&0\\0&1&a-2\end{array}\right|.
Utveckla efter rad 2:
för \displaystyle a=1 eller \displaystyle a=3 .
Alltså är vektorerna linjärt beroende om \displaystyle a=0,1,3 .
