Tips och lösning till U 11.9
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Vi söker alltså de punkter som förutom att de tillhör linjära höljet \displaystyle U också ligger i de två hyperplanen.
Tips 2
En vektor som ligger i \displaystyle U kan skrivas\begin{array}{rcl} \boldsymbol{x}&=&\lambda_1\boldsymbol{u}_1+\lambda_2\boldsymbol{u}_2+\lambda_3\boldsymbol{u}_3\\ &=&\lambda_1(1,1,1,1)^t+\lambda_2(1,1,1,0)^t+\lambda_3(1,1,0,1)^t\\ &=&(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3,\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3,\lambda_1+\lambda_2,\lambda_1+\lambda_3)^t \qquad\qquad\qquad(*) \end{array}
Tips 3
De två hyperplanen ger oss ekvationssystemet\left\{\begin{array}{rcl} (\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)+(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3) +(\lambda_1+\lambda_2)+(\lambda_1+\lambda_3)&=&0\\ (\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)+2(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3) +(\lambda_1+\lambda_2)+3(\lambda_1+\lambda_3)&=&0 \end{array}\right.
Lösning
Mängden \displaystyle U består av alla vektorer
\displaystyle \boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in {\bf R}^4 som är en
linjärkombination av \displaystyle \boldsymbol{u}_1 , \displaystyle \boldsymbol{u}_2 och
\displaystyle \boldsymbol{u}_3 , dvs
\begin{array}{rcl} \boldsymbol{x}&=&\lambda_1\boldsymbol{u}_1+\lambda_2\boldsymbol{u}_2+\lambda_3\boldsymbol{u}_3\\ &=&\lambda_1(1,1,1,1)^t+\lambda_2(1,1,1,0)^t+\lambda_3(1,1,0,1)^t\\ &=&(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3,\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3,\lambda_1+\lambda_2,\lambda_1+\lambda_3)^t \qquad\qquad\qquad(*) \end{array}
Mängden \displaystyle V är snittmängden mellan mängderna
V_1=\{\boldsymbol{x}\in {\bf R}^4: x_1+x_2+x_3+x_4=0\}
och
V_2=\{\boldsymbol{x}\in{\bf R}^4: x_1+2x_2+x_3+3x_4=0\},
dvs \displaystyle V=V_1\cap V_2 . Geomtriskt betyder \displaystyle V skärningsmängden mellan hyperplanen \displaystyle V_1 och \displaystyle V_2 . Vi söker alltså dem vektorer \displaystyle \boldsymbol{x}\in U\cap V , dvs \displaystyle \boldsymbol{x}\in U\cap V_1\cap V_2 , dvs vi söker alla dem vektorer som ligger i alla tre rummen.
\left\{\begin{array}{rcl} (\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)+(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3) +(\lambda_1+\lambda_2)+(\lambda_1+\lambda_3)&=&0\\ (\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)+2(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3) +(\lambda_1+\lambda_2)+3(\lambda_1+\lambda_3)&=&0 \end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcl} 4\lambda_1+3\lambda_2+3\lambda_3&=&0\\ 7\lambda_1+4\lambda_2+6\lambda_3&=&0\\ \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl} 4\lambda_1+3\lambda_2+3\lambda_3&=&0\\ -\lambda_1-2\lambda_2&=&0\\ \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl} \lambda_1&=&-6t\\ \lambda_2&=&3t\\ \lambda_3&=&5t\\ \end{array}\right.
Vi sätter in värdena på \displaystyle \lambda som vi har fått i uttrycket \displaystyle (*) och får att \displaystyle \boldsymbol{x}=t(2,2,-3,-1)^t . Vi har därmed visat att \displaystyle U\cap V=[2,2,-3,-1] .
