Tips och lösning till U 13.13b
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Börja med att ta fram en ON-bas för det tredimensionella (detta bör kollas) rummet W
Tips 2
Du använder en G-S process för att finna ON-basen för W.
Tips 3
För att utvidga till en ON-bas så skall du utöka med en vektor till som är ortogonal mot samtliga tre erhållna basvektorer i ON.basen. Detta leder till tre skalärprodukter som samtliga skall vara noll. Detta ekvationssystem ger en vektor som sedan skall normeras. Klart!
Lösning
Vi använder G-S process. Låt
\boldsymbol{e}_1=\frac{1}{||\boldsymbol{v}_1||}\boldsymbol{v}_1=\frac{1}{
2}(1,1,1,1)^t.
Bilda hjälpvektorn
\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{v}_2-(\boldsymbol{v}_2|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1=\frac{1}{2}(-1,1,1,-1)^t.
Eftersom \displaystyle \boldsymbol{f}_2 är redan normerad så får vi
\boldsymbol{e}_2=\frac{1}{||\boldsymbol{f}_2||}\boldsymbol{f}_2=\frac{1}{
2}(-1,1,1,-1)^t.
Vi fortsätter med att bilda hjälpvektorn
\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{v}_3-(\boldsymbol{v}_3|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1-(\boldsymbol{v}_3|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2=\frac{1}{\sqrt{10}}(-2,1,-1,2)^t.
Alltså är \displaystyle \{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} en ON-bas för \displaystyle W .
Vi utvidgar ON-basen \displaystyle \{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} för \displaystyle W till en ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3,\boldsymbol{e}_4\} för hela \displaystyle {\bf E}^4 genom att välja \displaystyle \boldsymbol{e}_4=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t ortogonal mot dem övriga basvektorerna, dvs
\left\{\begin{array}{rcl} (\boldsymbol{e}_4 | \boldsymbol{e}_1) &=&0\\ ( \boldsymbol{e}_4 | \boldsymbol{e}_2)&=&0\\ ( \boldsymbol{e}_4 | \boldsymbol{e}_3)&=&0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl} x_1+x_2+x_3+x_4&=&0\\ -x_1+x_2+x_3-x_4&=&0\\ -2x_1+x_2-x_3+2x_4&=&0 \end{array}\right.
Vi kan välja att lösa systemet ovan och på så sätt få vektorn \displaystyle (1,2,-2,-1)^t . Vi kan också utnyttja att vi söker en vektor \displaystyle \boldsymbol{e}_4 ortogonal mot hyperplanet
W=\{\boldsymbol{v}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf E}^4:\ x_1+2x_2-2x_3-x_4=0\}.
En sådan vektor är då {\bf normalen} \displaystyle (1,2,-2,-1)^t . Vi väljer alltså att utvidga med \displaystyle \boldsymbol{e}_4=\frac{1}{\sqrt{10}}(1,2,-2,-1)^t .
