Tips och lösning till U 13.14a

Tips 1

Börja med att finna en bas (ej nödvändigtvis ON-bas) för rummet.

Tips 2

I detta fall har vi ett hyperplan och du skall finna de vektorer som spänner upp planet. Idéen är att du ansätter en parameter för var och en av tre koordinater och löser ut den fjärde.

Tips 3

Du erhåller då tex (!) för varje godtycklig vektor \displaystyle \boldsymbol{v}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t som tillhör \displaystyle V

\displaystyle

\boldsymbol{v}=r(-2,1,0,0)^t+s(1,0,1,0)^t+t(-4,0,0,1)^t.

. Här ser du nu de tre vektorer som bildar bas. Nästa steg är att via en G-S-process (vilket kan göras på olika sätt!!) skapa en ON-bas. Därefter söker du en fjärde basvektor som skall vara ortogonal mot samtliga tre basvektorer i ON-basen för W. Observera att du ur planets ekvation direkt kan se en normal till hyprplanet. Obs2 rätta svar till denna typ av uppgift kan se olika ut.

Lösning

Vi bestämmer riktnngsvektorerna som spänner upp \displaystyle V . Vi sätter \displaystyle x_4=t , \displaystyle x_3=s och \displaystyle x_2=r och löser ut \displaystyle x_1=-2r+s-4t . Varje godtycklig vektor \displaystyle \boldsymbol{v}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t som tillhör \displaystyle V har alltså formen

\displaystyle

\boldsymbol{v}=r(-2,1,0,0)^t+s(1,0,1,0)^t+t(-4,0,0,1)^t.

Vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1=(1,0,1,0)^t , \displaystyle \boldsymbol{v}_2=(-2,1,0,0)^t och \displaystyle \boldsymbol{v}_3=(-4,0,0,1)^t är därmed en bas för underrummet \displaystyle V , dvs \displaystyle V=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3] . Vi använder G-S för att finna en ON-bas i \displaystyle V . Låt

\displaystyle

\boldsymbol{e}_1=\frac{1}{ ||\boldsymbol{v}_1||}\boldsymbol{v}_1=\frac{1}{\sqrt{2}}(1,0,1,0)^t.

Bilda hjälpvektorn

\displaystyle

\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{u}_2-(\boldsymbol{u}_2|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1=(-1,1,1,0)^t.

Vi får den andra basvektorn genom att normera \displaystyle \boldsymbol{f}_2 . Låt

\displaystyle

\boldsymbol{e}_2=\frac{1}{||\boldsymbol{f}_2||}\boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt{3}}(-1,1,1,0)^t.

Vi bildar en ny hjälpvektor

\displaystyle

\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{u}_3-(\boldsymbol{u}_3|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1-(\boldsymbol{u}_3|\boldsymbol{e}_2)\boldsymbol{e}_2=\frac{1}{3}(-2,-4,2,3)^t.

Tredje basvektorn får vi genom att normera \displaystyle \boldsymbol{f}_2 . Låt

\displaystyle

\boldsymbol{e}_3=\frac{1}{||\boldsymbol{f}_3}\boldsymbol{f}_3=\frac{1}{\sqrt{33}}(-2,-4,2,3)^t.

Vi utvidgar ON-basen \displaystyle \{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3\} för \displaystyle W till en ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} = \{\boldsymbol{e}_1,\boldsymbol{e}_2,\boldsymbol{e}_3,\boldsymbol{e}_4\} för hela \displaystyle {\bf E}^4 genom att välja \displaystyle \boldsymbol{e}_4=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t ortogonal mot dem övriga basvektorerna, dvs

\displaystyle

\left\{\begin{array}{rcl} (\boldsymbol{e}_4 | \boldsymbol{e}_1) &=&0\\ ( \boldsymbol{e}_4 | \boldsymbol{e}_2)&=&0\\ ( \boldsymbol{e}_4 | \boldsymbol{e}_3)&=&0 \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lcl} x_1+x_3&=&0\\ -x_1+x_2+x_3&=&0\\ -2x_1-4x_2+2x_3+3x_4&=&0 \end{array}\right.

Systemet ger vektorn \displaystyle (1,2,-1,4)^t som vi normerar.

Alternativt tar vi en normerad {\bf normal} \displaystyle \boldsymbol{e}_4=\frac{1}{\sqrt{22}} (1,2,-1,4)^t som är ortogonal mot hyperplanet

\displaystyle

W=\{\boldsymbol{v}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf E}^4:\ x_1+2x_2-x_3+4x_4=0\}.