Tips och lösning till U 13.15b
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Vi behöver nu två lämpliga vektorer för att fylla ut till en ON-bas för hela rummet.
Tips 2
Kraven på de två vektorerna är att de skall vara ortogonala mot de två du räknat fram. Ekvationssystemet blir\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{w}\cdot\boldsymbol{e}_1=0\\\boldsymbol{w}\cdot\boldsymbol{e}_2=0\end{array}\right.
\quad\Leftrightarrow\quad
\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-x_3-x_4=0\\x_1-x_2-x_3+x_4=0\end{array}\right.
Tips 3
Du erhåller en parameterlösning som ger dej de två vektorerna. Återstår att normera och kontrollera om resultatet är rimligt. Observera att rätta svar kan se olika ut!
Lösning
För att fylla ut till ON-bas söker vi \displaystyle \boldsymbol{w}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t sådan att
\left\{\begin{array}{l}\boldsymbol{w}\cdot\boldsymbol{e}_1=0\\\boldsymbol{w}\cdot\boldsymbol{e}_2=0\end{array}\right.
\quad\Leftrightarrow\quad
\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2-x_3-x_4=0\\x_1-x_2-x_3+x_4=0\end{array}\right.
vilket har lösningen
\boldsymbol{w}=s(1,0,1,0)+t(0,1,0,1).
Fyll ut med ortogonala \displaystyle \boldsymbol{e}_3=\frac{1}{\sqrt2}(1,0,1,0)^t och \displaystyle \boldsymbol{e}_4=\frac{1}{\sqrt2}(0,1,0,1)^t .
Om vi vill ha samma struktur som \displaystyle \boldsymbol{e}_1 och \displaystyle \boldsymbol{e}_2 så kan vi välja \displaystyle s=t=1 som ger \displaystyle \boldsymbol{w}=(1,1,1,1)^t och \displaystyle s=-t=1 som ger \displaystyle \boldsymbol{w}=(1,-1,1,-1)^t också ortogonala.
