Tips och lösning till U 13.8b
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Definitionen ger oss sambandet \displaystyle A^tA=AA^t=E
Tips 2
Det räcker att se till att sambandet fungerar för det ena fallet. Om så är fallet så gäller även det andra sambandet. Obsevera att transponatet i detta fall fungerar som invers matris och dessutom är det.
Tips 3
Vi ska alltså beräkna a,b och c så att\frac{1}{7} \begin{pmatrix} 2&3&6\\6&2&a\\b&c&2\end{pmatrix} \cdot \frac{1}{7}\begin{pmatrix} 2&6&b\\3&2&c\\6&a&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}
Lösning
Enligt Definition 6.36 så är en matris \displaystyle A är ortogonal om \displaystyle A^tA=AA^t=E , dvs om
\frac{1}{7} \begin{pmatrix} 2&3&6\\6&2&a\\b&c&2\end{pmatrix} \cdot \frac{1}{7}\begin{pmatrix} 2&6&b\\3&2&c\\6&a&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}
\Leftrightarrow
\begin{pmatrix} 49&18+6a&18+6a\\18+6a&40+a^2&2a+6b+2c\\2a+6b+2c&2a+6b+2c&2a+6b+2c\end{pmatrix} =49 \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}
Vid jämförelse av elementen på respektive plats i varje led ger att \displaystyle a=-3 , \displaystyle b=3 och \displaystyle c=-6 . Alltså är matrisen
\frac{1}{7}\begin{pmatrix} 2&6&3\\3&2&-6\\6&-3&2\end{pmatrix}.
