Tips och lösning till U 15.3

Tips 1

Metodiken är densamma om du skall anpassa en rät linje eller en andragradskurva till dina mätdata.

Tips 2

I detta fall är det tre konstanter som skall beräknas a,b och c. För att få fram matrisen A sätter du in de fyra (x,y)-par du fått i andragradsuttrycket. Detta ger fyra ekvationer i ett ekvationssystem som du skriver om i matrisform. Nu har du matrisen A.

Tips 3

Du har nu ekvationssystemet på formen \displaystyle

\left(\begin{array}{rrr}1&-1&1\\0&0&1\\1&1&1\\4&2&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} a\\b\\c\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r} 2\\2\\1\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}.

Detta system saknar lösning. Vi löser då i stället normalekvationen \displaystyle A^tA\boldsymbol{x}=A^t\boldsymbol{b}

Lösning

Vi sätter vi in punkterna i andragradskurva \displaystyle y=ax^2+bx+c och får därmed matrisekvationen

\displaystyle

\left(\begin{array}{rrr}1&-1&1\\0&0&1\\1&1&1\\4&2&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} a\\b\\c\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r} 2\\2\\1\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}.

Detta system saknar lösning så vi löser normalekvationen

\displaystyle

A^tA\boldsymbol{x}=A^t\boldsymbol{b} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}0&2&-6\\0&10&-10\\6&2&4\end{array}\right|\left. \begin{array}{r}-12\\17\\5\end{array}\right).

Vi får att \displaystyle a=-\frac{5}{20} , \displaystyle b=-\frac{9}{20} och \displaystyle c=\frac{37}{20} .