Tips och lösning till U 15.7b
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Vi vet att W har dimensionen två så\boldsymbol{u}_{\parallel W} = \lambda_1 \boldsymbol{v}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{v}_2
Tips 2
Vi skall nu bestämma \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 så att felet
||\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}}||=||\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{\parallel W}||
blir så litet som möjlig. Vi nu sätter upp relationen
\boldsymbol{u} = \lambda_1\boldsymbol{v}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{v}_2
Tips 3
Vi får då normalekvationen:
\left(\begin{array}{rrrr}2&2&1\\1&-2&2\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} 2&1\\2&-2\\1&2\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}\lambda_1 \\ \lambda_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrrr}2&2&1\\1&-2&2\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)
Lösning
Vi söker den vektor \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W} \in W , där
W=[\boldsymbol{v}_1=(2,2,1)^t,\boldsymbol{v}_2=(1,-2,2)^t]
som ligger närmast \displaystyle \boldsymbol{u} , Detta betyder att vi söker \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 , så att
\boldsymbol{u}_{\parallel W} = \lambda_1 \boldsymbol{v}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{v}_2
och att felet
||\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}}||=||\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{\parallel W}||
blir så litet som möjligt. Vi sätter upp relationen
\boldsymbol{u} = \lambda_1\boldsymbol{v}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{v}_2
\lambda_1\left(\begin{array}{r}2\\2\\1\end{array}\right) +\lambda_2 \left(\begin{array}{r} 1\\-2\\2\end{array}\right) =\left(\begin{array}{r} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)
\Leftrightarrow
\left(\begin{array}{rr} 2&1\\2&-2\\1&2\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}\lambda_1 \\ \lambda_2\end{array}\right) =\left(\begin{array}{r} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)
Detta system saknar lösning! MKmetoden där vi löser normalekvationen ger
\left(\begin{array}{rrrr}2&2&1\\1&-2&2\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr} 2&1\\2&-2\\1&2\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}\lambda_1 \\ \lambda_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrrr}2&2&1\\1&-2&2\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)
\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr|r}9&0&2x_1+2x_2+x_3\\0&9&x_1-2x_2+2x_3\end{array}\right) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcr}\lambda_1&=&(2x_1+2x_2+x_3)/9\\ \lambda_2&=&(x_1-2x_2+2x_3)/9\end{array}\right.
Alltså ges ortogonala projektionen på \displaystyle W av
\begin{array} \boldsymbol{u}_{\parallel W} &=&\frac{2x_1+2x_2+x_3}{9} \boldsymbol{v}_1 + \frac{x_1-2x_2+2x_3}{9} \boldsymbol{v}_2\\ &=&\frac{2x_1+2x_2+x_3}{9} \left(\begin{array}{r}2\\2\\1\end{array}\right) +
\frac{x_1-2x_2+2x_3}{9} \left(\begin{array}{r} 1\\-2\\2\end{array}\right)
\end{array}
dvs
\boldsymbol{u}_{\parallel W} =\frac{1}{9} \left(\begin{array}{r} 5x_1+2x_2+4x_3\\2x_1+8x_2-2x_3\\4x_1-2x_2+5x_3\end{array}\right)
Projektionen har också en matrisframställning, ty
P_{W}(\boldsymbol{u})=\frac{1}{9} \left(\begin{array}{rrr} 5&2&4\\2&8&-2\\4&-2&5\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)
