Tips och lösning till U 22.14

Tips 1

Vi använder sambandet \displaystyle A=TDT^{-1}

Tips 2

Med hjälp av angivna uppgifter kan du erhålla D (med hjälp av egenvärdena) och T (med hjälp av egen vektorerna). Observera att då du har bestämt D, vilket kan göras på flera sätt, så har du bestämt T.

Tips 3

Resultatet beräknas ur \displaystyle A=TDT^{-1} . För att slutföra beräkningen måste vi först beräkna inversen till T.

Lösning

Eftersom \displaystyle A=TDT^{-1} , där \displaystyle D innehåller egenvärdena på diagonalen, \displaystyle D=\left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&3&0\\0&0&4\end{array}\right)

och \displaystyle T innehåller egenvektorerna i sina kolonner, \displaystyle T=\left(\begin{array}{rrr}1&1&1\\2&0&-1\\1&-1&1 \end{array}\right).

Om vi inverterar \displaystyle T så får vi \displaystyle T^{-1}=\frac{1}{6} \left(\begin{array}{rrr} 1&2&1\\3&0&-3\\2&-2&2 \end{array}\right).

Därmed får vi att