Tips och lösning till U 22.35
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
I detta problem som från början är givet i matrisform skall vi bestämma två så kallade rekursiva talföljder. En talföljd kan man säga är en uppräkning av tal där vi i detta fall bestämmer ett tal i talföljden med hjälp av det föregående. För att komma igång med processen måste man ha startvärden vilka i detta fall är 2 respektive 3. För att förstå uppgiften kan det vara till hjälp att skriva upp några tal i talföljden.
Tips 2
Genom att diagonalisera matrisen så kan vi få samma effekt som vid lösning av system av differentialekvationer, dvs att vi kan få de två talföljderna separerade från varandra.
Tips 3
Vi erhåller då resultatet\frac{1}{6^n} \left(\begin{array}{r}{a_n}\\{b_n}\end{array}\right) =\frac{1}{7} \left(\begin{array}{cc}{-4}&3\\1&1 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{rr}{(-1/6)^n}&0\\0&{1}\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}{-1}&3\\1&4 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{r}2\\3 \end{array}\right)\rightarrow2 \left(\begin{array}{r}3\\1 \end{array}\right).
då \displaystyle n\rightarrow\infty .
Lösning
Matrisen \displaystyle A=\left(\begin{array}{rr} 2&12\\1&3 \end{array}\right) har egenvärdena \displaystyle \lambda_1=-1 och \displaystyle \lambda_2=6 . Tillhörande egenrum \displaystyle E_{\lambda=-2}=[(-4,1)^t] , \displaystyle E_{\lambda=2}=[(3,1)^t] , så att \displaystyle A=TDT^{-1} .
Systemet kan då skrivas
\begin{array}{rcl} \left(\begin{array}{r}\\{a_n}\\{b_n}\end{array}\right) &=&A\left(\begin{array}{r}{a_{n-1}}\\{b_{n-1}} \end{array}\right)
=A^n\left(\begin{array}{r}{a_0}\\{b_0}\end{array}\right)
=TD^nT^{-1}\left(\begin{array}{r}{a_0}\\{b_0}\end{array}\right)\\
&=&\left(\begin{array}{rr}{-4}&3\\1&1 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{rr}{(-1)^n}&0\\0&{6^n}\end{array}\right)
\frac{1}{7}\left(\begin{array}{rr}{-1}&3\\1&4 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{r}2\\3 \end{array}\right).
\end{array}
Då är
\frac{1}{6^n} \left(\begin{array}{r}{a_n}\\{b_n}\end{array}\right) =\frac{1}{7} \left(\begin{array}{cc}{-4}&3\\1&1 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{rr}{(-1/6)^n}&0\\0&{1}\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}{-1}&3\\1&4 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{r}2\\3 \end{array}\right)\rightarrow2 \left(\begin{array}{r}3\\1 \end{array}\right).
då \displaystyle n\rightarrow\infty .
