Tips och lösning till U 22.36
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Jämfört med föregående uppgift kan vi se att det är en skillnad på 2 i index. Vi gör därför en "listig" substitution för att komma ifrån detta. Vi sätter därför \displaystyle b_n=a_{n+1}
Tips 2
Differensekvationen övergår då i
\left\{\begin{array}{rcr}a_{n+1}&=&b_n\\b_{n+1}&=&\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2}b_n\end{array}\right.
Vi ser nu att vi har ett system som kan skrivas i matrisform och detta skall "naturligtvis" diagonaliseras.
Tips 3
Vid diagonaliseringen övergår systemet till
\begin{array}{rcl} \left(\begin{array}{r}{a_{n+1}}\\{b_{n+1}}\end{array}\right)&=&A\left(\begin{array}{r}{a_n}\\{b_n}\end{array}\right)=A^{n+1} \left(\begin{array}{r}{a_0}\\{b_0}\end{array}\right) =TD^{n+1}T^{-1} \left(\begin{array}{r}{a_0}\\{b_0}\end{array}\right)\\
&=& \left(\begin{array}{rr}{-2}111 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}{(-1/2)^n}00{1}\end{array}\right) \frac{1}{3} \left(\begin{array}{cc}{-1}&1\\1&2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{r}0\\1 \end{array}\right)\\
&&\rightarrow \left(\begin{array}{rr}{-2}111 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{rr}0&0\\0&{1}\end{array}\right)\frac{1}{3} \left(\begin{array}{rr}{-1}&1\\1&2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{r}0\\1 \end{array}\right)=\frac{2}{3} \left(\begin{array}{r}1\\1 \end{array}\right),\\ \end{array}
då \displaystyle n\rightarrow\infty .
Vi går nu tillbaka och ser efter vad som efterfrågas. Att vi har beräknat \displaystyle {a_{n+1}} då \displaystyle n\rightarrow\infty i stället för \displaystyle {a_{n}} då \displaystyle n\rightarrow\infty har ingen betydelse utan resultatet blir \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\frac{2}{3} . På köpet får vi också reda på \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}b_n=\frac{2}{3} som naturligtvis skall bli samma resultat med tanke på den substitution som är gjord.
Lösning
Sätt \displaystyle b_n=a_{n+1} . Differensekvationen övergår i
\left\{\begin{array}{rcr}a_{n+1}&=&b_n\\b_{n+1}&=&\frac{1}{2}a_n+\frac{1}{2}b_n\end{array}\right.
Låt \displaystyle A=\frac{1}{2} \left(\begin{array}{r}0&2\\1&1 \end{array}\right) med egenvärdena \displaystyle \lambda_1=-1/2 , \displaystyle \lambda_2=1 och tillhörande egenrum \displaystyle E_{\lambda=-1/2}=[(-2,1)^t] och \displaystyle E_{\lambda=1}=[(1,1)^t] .
Då kan ekvationen skrivas som systemet
\begin{array}{rcl} \left(\begin{array}{r}{a_{n+1}}\\{b_{n+1}}\end{array}\right)&=&A\left(\begin{array}{r}{a_n}\\{b_n}\end{array}\right)=A^{n+1} \left(\begin{array}{r}{a_0}\\{b_0}\end{array}\right) =TD^{n+1}T^{-1} \left(\begin{array}{r}{a_0}\\{b_0}\end{array}\right)\\
&=& \left(\begin{array}{rr}{-2}111 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cc}{(-1/2)^n}00{1}\end{array}\right) \frac{1}{3} \left(\begin{array}{cc}{-1}&1\\1&2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{r}0\\1 \end{array}\right)\\
&&\rightarrow \left(\begin{array}{rr}{-2}111 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{rr}0&0\\0&{1}\end{array}\right)\frac{1}{3} \left(\begin{array}{rr}{-1}&1\\1&2 \end{array}\right) \left(\begin{array}{r}0\\1 \end{array}\right)=\frac{2}{3} \left(\begin{array}{r}1\\1 \end{array}\right),\\ \end{array}
då \displaystyle n\rightarrow\infty . Detta ger att \displaystyle \lim_{n\rightarrow\infty}a_n=\frac{2}{3} .
