Tips och lösning till U 22.3a
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Vi börjar med att fundera på när sekularekvationen har icke trivial lösning.
Tips 2
Sekularekvationen har utseendet \displaystyle (A-\lambda E)X=\boldsymbol{0}, . Detta är ett homogent ekvationssystem vars icke triviala lösningar sökes. Dessa erhålles då ekvationssystemets determinant är noll. Detta ger oss egenvärdena.
Tips 3
Vi ska alltså lösa ekvationen \displaystyle 0=\det(A-\lambda E)= \left| \begin{array}{rrr} 3-\lambda& 1& 0\\ 0 & 3-\lambda& 0\\ 0 & 0& 1-\lambda \end{array}\right| vilket ger oss tre lösningar varav en är dubbelrot.
Lösning
Låt \displaystyle A vara \displaystyle F :s matris. \displaystyle \lambda är ett egenvärde till \displaystyle F med tillhörande egenvektor \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}} X om
F(\boldsymbol{v})=\lambda\boldsymbol{v}\Leftrightarrow F(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\lambda X \Leftrightarrow
\underline{\boldsymbol{e}}AX=\underline{\boldsymbol{e}}\lambda X \Leftrightarrow
(A-\lambda E)X=\boldsymbol{0},
där \displaystyle E är enhetsmatrisen. För att undvika trivial lösningen \displaystyle X=\boldsymbol{0} , söker vi \displaystyle \lambda som är en rot till
sekularekvationen \displaystyle \det(A-\lambda E)=0 . Vi får
0=\det(A-\lambda E)= \left| \begin{array}{rrr} 3-\lambda& 1& 0\\ 0 & 3-\lambda& 0\\ 0 & 0& 1-\lambda \end{array}\right| =(1-\lambda)(3-\lambda)^2.
Alltså är egenvärden \displaystyle \lambda_1=1 ,
\displaystyle \lambda_{2,3}=3 .
