Tips och lösning till U 22.8d
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Vi har ett antal satser som reglerar vad som gäller för diagonalisering. Den viktigaste är spektralsatsen sats 19.6. Diagonalisering innebär att det är möjligt att välja en bas som leder till att den matris som genererar den linjära avbildningen är en diagonalmatris.
Tips 2
Vi får samma mönster som i c-uppgiften.
Tips 3
Observera att diagonalelementen i \displaystyle D skall följa samma ordning som kolonnvektorerna i matrisen \displaystyle T
Lösning
Vi adderar rad 2 till rad 3 i sekularekvationen
0=\left|\begin{array}{ccc} 1-\lambda&3&3\\ 3&1-\lambda&3\\ -3&-3&-5-\lambda \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 1-\lambda&3&3\\ 3&1-\lambda&3\\ 0&-2-\lambda&-2-\lambda \end{array}\right|
= \left|\begin{array}{ccc} 1-\lambda&0&3\\ 3&-2-\lambda&3\\ 0&0&-2-\lambda \end{array}\right| =(-2-\lambda)^2(1-\lambda)
Egenvärdena är \displaystyle \lambda_1=1 , \displaystyle \lambda_{2,3}=-2 .
För \displaystyle \lambda_1=1 är tillhörande egenvektorn \displaystyle t(1,1,-1)^t .
För \displaystyle \lambda_{2,3}=-2 får vi
\left(\begin{array}{rrr} 3&3&3\\ 3&3&3\\ -3&-3&-3\\ \end{array}\right) \Leftrightarrow x_1+x_2+x_3=0
och därmed är tillhörande egenrum
\displaystyle E_{\lambda=-2}=\{\boldsymbol{x}\in{\bf R}^3:\ x_1+x_2+x_3=0] .
Som egenvektorer väljer vi \displaystyle t(1,-1,0)^t och \displaystyle (1,0,-1)^t .
Med
\displaystyle
T=\left(\begin{array}{rrr}
1&1&1\\
1&-1&0\\
-1&0&-1
\end{array}\right)
,
\displaystyle
T^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}
1&1&1\\
1&0&1\\
-1&-1&-2\\
\end{array}\right)
och
\displaystyle
D=\left(\begin{array}{rrr}
1&0&0\\
0&-2&0\\
0&0&-2
\end{array}\right)
kan vi diagonalisera matrisen \displaystyle A , så att
\displaystyle A=TDT^{-1} .
