Tips och lösning till U 5.10
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Använd voymprodukt för att avgöra om vektorerna är linjärt beroende.
Tips 2
Vid beräkning av volymprodukten får du en tredjegradsekvation. Lös den genom att gissa en rot.
Tips 3
Det är denna volymprodukt du ska beräkna:
\left\{ \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 2\end{pmatrix} \right\}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ a+1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2-a \\ 1-2a \\ a^2-1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ a+1\end{pmatrix}.
Lösning
Vektorerna är linjärt beroende om volymprodukten är
noll. Vi behöver därför bestämma \displaystyle a så att volymprodukten blir just
lika med noll. Vi har att
\left\{ \begin{pmatrix} a \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ a \\ 2\end{pmatrix} \right\}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ a+1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2-a \\ 1-2a \\ a^2-1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ a+1\end{pmatrix} =(a-1)(a^2+2a-2).
Vektorerna är alltså linjärt beroende om \displaystyle (a-1)(a^2+2a-2)=0 för
\displaystyle a=1, \displaystyle a=-1\pm\sqrt3.
