Tips och lösning till U 5.11
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Använd volymprodukt genom att skapa tre vektorer.
Tips 2
Kalla punkterna \displaystyle P_0, \displaystyle P_1, \displaystyle P_2 och \displaystyle P_3 och bilda tex vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u}=\overrightarrow{P_1P_0}, \displaystyle \boldsymbol{v}=\overrightarrow{P_2P_0} och \displaystyle \boldsymbol{w}=\overrightarrow{P_3P_0}.
Tips 3 Punkterna ligger i samma plan om om volymprodukten är noll, annars inte (anmärkning 4.19). Kolla detta påstående genom att rita en liten figur! Beräkna de tre vektorerna och och därefter volymprodukten.
Lösning
Kalla punkterna \displaystyle P_0, \displaystyle P_1, \displaystyle P_2 och \displaystyle P_3 och bilda vektorerna
\displaystyle \boldsymbol{u}=\overrightarrow{P_1P_0},
\displaystyle \boldsymbol{v}=\overrightarrow{P_2P_0} och
\displaystyle \boldsymbol{w}=\overrightarrow{P_3P_0}.
Enligt Anmärkning 4.19, så ligger alla fyra punkterna i ett och
samma plan om vektorerna \displaystyle \boldsymbol{u},
\displaystyle \boldsymbol{v} och \displaystyle \boldsymbol{w}
är linjärt beroende.
Därmed spänner de inte upp mer än ett plan och volymprodukten är då noll; se figur 4.17.
Om \displaystyle O är origo i rummet, så får vi
\boldsymbol{u}=\overrightarrow{P_1P_0}=\overrightarrow{OP_1}-\overrightarrow{OP_0}= \begin{pmatrix} 1 \\ t \\ 3\end{pmatrix} -\begin{pmatrix} t1 \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1-t \\ t-1 \\ 1\end{pmatrix},
\boldsymbol{v}=\overrightarrow{P_2P_0}=\overrightarrow{OP_2}-\overrightarrow{OP_0}= \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} -\begin{pmatrix} t \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1-t \\0 \\ -1\end{pmatrix},
\boldsymbol{w}=\overrightarrow{P_3P_0}=\overrightarrow{OP_3}-\overrightarrow{OP_0}= \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} -\begin{pmatrix} t \\ 1 \\ 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -t \\0 \\ -1\end{pmatrix},
Volymprodukten blir
\displaystyle V(\boldsymbol{u},\boldsymbol{v},\boldsymbol{w})=(\boldsymbol{u}\times\boldsymbol{v})\cdot\boldsymbol{w} är
\left\{ \begin{pmatrix} 1-t \\ t-1 \\ 1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1-t \\ 0\\ -1\end{pmatrix} \right\}\cdot \begin{pmatrix} -t \\ 0\\ -1\end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1-t \\ 0\\ (t-1)^2\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -t \\ 0\\ -1\end{pmatrix} =1-t=0
för \displaystyle t=1. Alltså för \displaystyle t=1 ligger alla fyra punkterna
\displaystyle P_0=(1,1,2), \displaystyle P_1=(1,1,3), \displaystyle P_2=(1,1,1) och \displaystyle P_3=(0,1,1) i
sammap plan.
