Tips och lösning till U 5.13
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Använd egenskaperna hos vektorprodukt för att finna en relation mellan \displaystyle \boldsymbol{v} och \displaystyle \boldsymbol{u}. Se definition 4.3
Tips 2
Eftersom \displaystyle \boldsymbol{v} och \displaystyle \boldsymbol{u} skall vara ortogonal skall skalärprodukten dom emellan vara noll. Detta ger k.
Tips 3
Lös nu vektorekvationen för k=1, dvs\boldsymbol{u}\times \boldsymbol{x}=\boldsymbol{v}\Leftrightarrow \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} \right\}=
\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}För att vektorerna i VL och HL skall vara lika krävs att de tre koordinaterna är lika, vilket ger ett ekvationssystem.
Lösning
Enligt egenskaperna hos vektorprodukten så måste vektorn
\displaystyle \boldsymbol{v} som ges av
\displaystyle \boldsymbol{v}=\boldsymbol{u}\times \boldsymbol{x} vara
ortogonal mot \displaystyle \boldsymbol{u}. Detta ger att
0=\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} -k \\ 1 \\ k\end{pmatrix}=k-1.
Alltså \displaystyle k=1. Vi löser vektorekvationen för \displaystyle k=1
\boldsymbol{u}\times \boldsymbol{x}=\boldsymbol{v}\Leftrightarrow \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} x \\ y \\ z\end{pmatrix} \right\}= \begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} -2y-z \\ 2x-z \\ x+y\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix}
och får ekvationssystemet
\left\{\begin{array}{lcr}-2y-z&=&-1\\2x-z&=&1\\x+y&=&1 \end{array}\right.
som har lösningen \displaystyle x=1-t, \displaystyle y=t och
\displaystyle z=1-2t, \displaystyle t\in{\bf R}.
Alltså är lösningsvektorn
\boldsymbol{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\end{pmatrix} +t \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix},\qquad t\in{\bf R}.
