Tips och lösning till U 7.7a

Tips 1

Då ska finna en matris \displaystyle A^{-1} så att \displaystyle A^{-1}A=A A^{-1}=E. Både A och dess invers är alltså en 2x2 matris eftersom det endast är kvadratiska matriser som har invers.

Tips 2

Ett bra sätt att tänka är att låta kolonnerna i \displaystyle A^{-1} vara \displaystyle X_1 och \displaystyle X_2, dvs \displaystyle A^{-1}=(X_1\ X_2). Vidare låter du kolonnerna i enhetsmatrisen vara \displaystyle E_1 resp \displaystyle E_2

Tips 3

Du får nu två ekvationssystem som kan skrivas \displaystyle AX_1=E_1 och \displaystyle A X_2= E_2 eller eller som ett system \displaystyle \left(\begin{array}{rr}1&2\\3&5\end{array}\right|\left. \begin{array}{rr}1&0\\0&1\end{array}\right). Använd Gausselimination! Glöm ej att kontrollera ditt resultat dvs att \displaystyle A^{-1}A=A A^{-1}=E.

Lösning

En kvadratisk matris \displaystyle A är inverterbar med inversen \displaystyle A^{-1} om \displaystyle A^{-1}A=A A^{-1}=E. Om kolonnerna i \displaystyle A^{-1} är \displaystyle X_1 och \displaystyle X_2, dvs \displaystyle A^{-1}=(X_1\ X_2), så får vi att

som är två ekvationsystem \displaystyle AX_1=E_1 och \displaystyle A X_2= E_2. Eftersom det är samma radopertaioner som ska utföras i båda ekvationssystemen (det är ju samma matris \displaystyle A i båda), så löser vi de systemen samtidigt. Vi får

Alltså är \displaystyle A^{-1}=\begin{pmatrix}{-5}&{2}\\{3}&{-1}\end{pmatrix}.