Tips och lösning till U 7.9
SamverkanLinalgLIU
Tips 1
Matriserna A och B bestämmer vilken typ av matris X är!
Tips 2
X är alltså en 3x3 matris. För att beräkna X så multiplicerar du båda led med \displaystyle A^{-1}från vänster.
Tips 3
En förutsättning för att matrisekvationen skall ha en lösning är alltså att matrisen A har en invers (vilket inte är säkert). Återstår nu att ta reda på detta! Använd den metod du lärt dej tidigare i detta kapitel.
Lösning
Eftersom \displaystyle A är en \displaystyle 3\times3 matris och \displaystyle B en \displaystyle 3\times3 matris så är \displaystyle X också en \displaystyle 3\times3 matris.
Vi bestämmer om möjligt inversen till \displaystyle A genom att lösa det utökade systemet
\left(\begin{array}{rrr}1&2&-3\\3&2&-4\\2&-1&0\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&2&-3\\0&-4&5\\0&-5&6\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}1&0&0\\-3&1&0\\-2&0&1\end{array}\right) \Leftrightarrow \{\mbox{5rad2-4rad3}\}
\Leftrightarrow \{\mbox{(-1)rad2}\} \left(\begin{array}{rrr}1&2&-3\\0&4&-5\\0&0&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}1&0&0\\3&-1&0\\-7&5&-4\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}1&2&0\\0&4&0\\0&0&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}-20&15&-12\\-32&24&-20\\-7&5&-4\end{array}\right)
\Leftrightarrow \{\mbox{rad1-1/2rad2}\} \left(\begin{array}{rrr}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{array}\right|\left. \begin{array}{rrr}-4&3&-2\\-8&6&-5\\-7&5&-4\end{array}\right).
Alltså är
A^{-1}=\left(\begin{array}{rrr}-4&3&-2\\-8&6&-5\\-7&5&-4\end{array}\right).
Vi får då lösningen
X=A^{-1}B=\begin{pmatrix}6&4&5\\2&1&2\\3&3&3\end{pmatrix}.
