Tips och lösning till U 9.8

Tips 1

Vi fortsätter att utnyttja sats 8.17, men nu är determinantens värde beroende av a.

Tips 2

Vi beräknar värdet av den determinant som har vektorerna som kolonner. Som vanligt så skapar vi nollor gärna med hjälp av ngn lämplig etta.

Tips 3

Använd ettan i rad ett för att skapa nollor i kolonn 1. I detta fall finns a i flera rader och kolonner och då kan det bli flera a-värden som gör att determinaten blir noll.

Lösning

Vektorerna \displaystyle \begin{pmatrix} 1\\1\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2\\a\\2-a\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2a\\1\\a-2\end{pmatrix} är linjärt beroende om \displaystyle a väljs så att matrisen \displaystyle \left( \begin{array}{rrr} 1&2&{2a}\\1&a&1\\1&{2-a}&{a-2}\end{array}\right) har determinant noll.

Vi skaffar oss två nollor i kolonn 1 med hjälp av radoperationer

               &=&(-1)^{(1+1)}\cdot 1 \cdot \left| \begin{array}{rr}  a-2& 1-2a \\ -a &  -a-2\end{array}\right|\\
                                           &=& -3a^2+a+4=(a+1)(-3a+4)=0

för \displaystyle a=-1,4/3 . Vektorerna är alltså linjärt beroende om \displaystyle a=-1,4/3 .