Tips och lösning till U 11.7

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 20: Rad 20:
<center><math>\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3+\lambda_4\boldsymbol{v}_4=\boldsymbol{0}.
<center><math>\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3+\lambda_4\boldsymbol{v}_4=\boldsymbol{0}.
</math></center>
</math></center>
-
Denna relation kan på matrisform skrivas
+
Denna relation kan på matrisform skrivas
-
<center><math>\underbrace{\left(\begin{array}{rrrr}a&1&1&2\\a&a&2&1\\a&a&a&2\\a&1&2&a\end{array}\right)}_{=A}\cdot
+
<center><math>
-
\underbrace{\left(\begin{array}{r}\lambda_1\\\lambda_2\\\lambda_3\\\lambda_4\end{array}\right)}_{=\boldsymbol{\lambda}}
+
\underbrace{\left(\begin{array}{rrrr}a&1&1&2\\a&a&2&1\\a&a&a&2\\a&1&2&a\end{array}\right)}_{=A}\cdot
-
=\left(\begin{array}{r}0\\0\\0\\0\end{array}\right)\Leftrightarrow
+
\underbrace{\left(\begin{array}{r}\lambda_1\\\lambda_2\\\lambda_3\\\lambda_4\end{array}\right)}_{=\boldsymbol{\lambda}}=\left(\begin{array}{r}0\\0\\0\\0\end{array}\right)\Leftrightarrow A\boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{0}.
-
A\boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{0}.
+
</math></center>
</math></center>
-
Enligt Sats 8.17 har systemet <math> A\boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{0} </math> den entydiga lösningen <math> \boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{0} </math> om <math> \dete A\neq0 </math> och
+
-
därmed är <math> M </math> linjärt oberoende. Vi bryter ut <math> a </math> från kolonn 1:
+
Enligt Sats 8.17 har systemet <math> A\boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{0} </math> den entydiga lösningen <math> \boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{0} </math> om <math> \det A\neq0 </math> och
-
<center><math>\dete A=a\left|\begin{array}{rrrr}1&1&1&2\\1&a&2&1\\1&a&a&2\\1&1&2&a\end{array}\right|
+
därmed är <math> M </math> linjärt oberoende.
-
=\left|\begin{array}{cccc}1&1&1&2\\0&a-1&1&-1\\0&a-1&a-1&0\\0&0&1&a-2\end{array}\right|.
+
 
 +
Vi bryter ut <math> a </math> från kolonn 1:
 +
<center><math>
 +
\det A=a\left|\begin{array}{rrrr}1&1&1&2\\1&a&2&1\\1&a&a&2\\1&1&2&a\end{array}\right|
 +
=\left|\begin{array}{cccc}1&1&1&2\\0&a-1&1&-1\\0&a-1&a-1&0\\0&0&1&a-2\end{array}\right|.
</math></center>
</math></center>
-
Utveckla efter kolonn 1 och bryt ut <math> a-1 </math> från rad 2. Ta Kolonn 2 minus kolonn 1:
+
-
<center><math>\dete A=(-1)^{1+1}\cdot1\cdot
+
Utveckla efter kolonn 1 och bryt ut <math> a-1 </math> från rad 2. Ta Kolonn 2 minus kolonn 1:
-
a\cdot(a-1)\cdot\trdetc{a-1}1{-1}11001{a-2}=a(a-1)=a(a-1)\trdetc{a-1}{2-a}{-1}10001{a-2}.
+
<center><math>
 +
\det A=(-1)^{1+1}\cdot1\cdot
 +
a\cdot(a-1)\cdot
 +
\left|\begin{array}{ccc}a-1&1&-1\\1&1&0\\0&1&a-2\end{array}\right|.
 +
=a(a-1)=a(a-1)
 +
\left|\begin{array}{ccc}a-1&2-a&-1\\1&0&0\\0&1&a-2\end{array}\right|.
</math></center>
</math></center>
-
Utveckla efter rad 2:
+
-
<center><math>\dete A=(-1)^{2+1}a(a-1)\cdot1(-(a-2)^2+1)=0
+
Utveckla efter rad 2:
 +
<center><math>\det A=(-1)^{2+1}a(a-1)\cdot1(-(a-2)^2+1)=0
</math></center>
</math></center>
-
för <math> a=1 </math> eller <math> a=3 </math>.
+
för <math> a=1 </math> eller <math> a=3 </math>.
-
Alltså är vektorerna linjärt beroende om <math> a=0,1,3 </math>.
+
 
 +
Alltså är vektorerna linjärt beroende om <math> a=0,1,3 </math>.

Versionen från 8 september 2010 kl. 10.25

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning



Vektorerna är linjärt beroende om det finns tal \displaystyle \lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 och \displaystyle \lambda_4 ej alla noll så att

\displaystyle \lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3+\lambda_4\boldsymbol{v}_4=\boldsymbol{0}.

Denna relation kan på matrisform skrivas

\displaystyle

\underbrace{\left(\begin{array}{rrrr}a&1&1&2\\a&a&2&1\\a&a&a&2\\a&1&2&a\end{array}\right)}_{=A}\cdot \underbrace{\left(\begin{array}{r}\lambda_1\\\lambda_2\\\lambda_3\\\lambda_4\end{array}\right)}_{=\boldsymbol{\lambda}}=\left(\begin{array}{r}0\\0\\0\\0\end{array}\right)\Leftrightarrow A\boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{0}.

Enligt Sats 8.17 har systemet \displaystyle A\boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{0} den entydiga lösningen \displaystyle \boldsymbol{\lambda}=\boldsymbol{0} om \displaystyle \det A\neq0 och därmed är \displaystyle M linjärt oberoende.

Vi bryter ut \displaystyle a från kolonn 1:

\displaystyle

\det A=a\left|\begin{array}{rrrr}1&1&1&2\\1&a&2&1\\1&a&a&2\\1&1&2&a\end{array}\right| =\left|\begin{array}{cccc}1&1&1&2\\0&a-1&1&-1\\0&a-1&a-1&0\\0&0&1&a-2\end{array}\right|.

Utveckla efter kolonn 1 och bryt ut \displaystyle a-1 från rad 2. Ta Kolonn 2 minus kolonn 1:

\displaystyle

\det A=(-1)^{1+1}\cdot1\cdot a\cdot(a-1)\cdot \left|\begin{array}{ccc}a-1&1&-1\\1&1&0\\0&1&a-2\end{array}\right|. =a(a-1)=a(a-1) \left|\begin{array}{ccc}a-1&2-a&-1\\1&0&0\\0&1&a-2\end{array}\right|.

Utveckla efter rad 2:

\displaystyle \det A=(-1)^{2+1}a(a-1)\cdot1(-(a-2)^2+1)=0

för \displaystyle a=1 eller \displaystyle a=3 .

Alltså är vektorerna linjärt beroende om \displaystyle a=0,1,3 .

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_11.7