Tips och lösning till U 13.7d

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 16: Rad 16:
-
Koordinaterna för <math> \boldsymbol{u} </math> ges av
+
Vektorn <math> \boldsymbol{u} </math> ges i basen <math> \underline{\boldsymbol{v}} </math>
 +
enligt
<center><math>
<center><math>
-
\boldsymbol{u}=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3+\lambda_4\boldsymbol{v}_4
+
\boldsymbol{u}=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3+\lambda_4\boldsymbol{v}_4.
</math></center>
</math></center>
-
eller eftersom det är en ON-bas:
+
Eftersom <math>\underline{\boldsymbol{v}} </math> är dessutom en
 +
ON-bas, så är koordinaterna klara och bestämda av
 +
<center><math>
 +
\lambda_j=(\boldsymbol{u} | \boldsymbol{v}_j ),\qquad j=1,2,3,4,
 +
</math></center>
 +
så att
<center><math>
<center><math>
\boldsymbol{u}=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v}_1)\boldsymbol{v}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v}_2)\boldsymbol{v}_2+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v}_3)\boldsymbol{v}_3+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v}_4)\boldsymbol{v}_4.
\boldsymbol{u}=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v}_1)\boldsymbol{v}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v}_2)\boldsymbol{v}_2+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v}_3)\boldsymbol{v}_3+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v}_4)\boldsymbol{v}_4.
</math></center>
</math></center>
 +
Vi har att <math>\lambda_1=3/2</math>, <math>\lambda_2=-1/2</math>,
 +
<math>\lambda_3=3/2</math> och <math>\lambda_4=-1/2</math>.
 +
Detta ger att
 +
<center><math>
 +
\boldsymbol{u}=\frac{3}{2}\boldsymbol{v}_1-\frac{1}{2}\boldsymbol{v}_2+
 +
\frac{3}{2}\boldsymbol{v}_3-\frac{1}{2}\boldsymbol{v}_4.
 +
</math></center>
 +
Vektorn <math>\boldsymbol{u}</math> har alltså koordinaterna
 +
<math>
 +
\frac{1}{2}\left(\begin{array}{r}3\\-1\\3\\1\\\end{array}\right)
 +
</math>
 +
i ON-basen <math>\underline{\boldsymbol{v}} </math>.

Versionen från 12 september 2010 kl. 08.36

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning


Vektorn \displaystyle \boldsymbol{u} ges i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{v}} enligt

\displaystyle

\boldsymbol{u}=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3+\lambda_4\boldsymbol{v}_4.

Eftersom \displaystyle \underline{\boldsymbol{v}} är dessutom en ON-bas, så är koordinaterna klara och bestämda av

\displaystyle

\lambda_j=(\boldsymbol{u} | \boldsymbol{v}_j ),\qquad j=1,2,3,4,

så att

\displaystyle

\boldsymbol{u}=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v}_1)\boldsymbol{v}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v}_2)\boldsymbol{v}_2+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v}_3)\boldsymbol{v}_3+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v}_4)\boldsymbol{v}_4.

Vi har att \displaystyle \lambda_1=3/2, \displaystyle \lambda_2=-1/2, \displaystyle \lambda_3=3/2 och \displaystyle \lambda_4=-1/2. Detta ger att

\displaystyle

\boldsymbol{u}=\frac{3}{2}\boldsymbol{v}_1-\frac{1}{2}\boldsymbol{v}_2+ \frac{3}{2}\boldsymbol{v}_3-\frac{1}{2}\boldsymbol{v}_4.

Vektorn \displaystyle \boldsymbol{u} har alltså koordinaterna \displaystyle \frac{1}{2}\left(\begin{array}{r}3\\-1\\3\\1\\\end{array}\right) i ON-basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{v}} .

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_13.7d