Tips och lösning till U 22.8e

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''')
Rad 13: Rad 13:
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
 +
 +
 +
 +
Vi subtraherar kolonn 2 från kolonn 3 i sekularekvationen
 +
 +
 +
<center><math>
 +
0=\left|\begin{array}{ccc}
 +
3-\lambda&-4&-4\\
 +
-1&3-\lambda&2\\
 +
2&-4&-3-\lambda
 +
\end{array}\right|
 +
=
 +
\left|\begin{array}{ccc}
 +
3-\lambda&0&-4\\
 +
-1&1-\lambda&2\\
 +
2&-1+\lambda&-3-\lambda
 +
\end{array}\right|
 +
</math></center>
 +
 +
 +
<center><math>
 +
=
 +
\left|\begin{array}{ccc}
 +
3-\lambda&0&-4\\
 +
-1&1-\lambda&2\\
 +
1&0&-1-\lambda
 +
\end{array}\right|
 +
=(1-\lambda)[(3-\lambda)(-1-\lambda)+4]=(1-\lambda)^3.
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Egenvärdena är <math> \lambda_{1,2,3}=1 </math>.
 +
Tillhörande egenrum är lösningsmängden till systemet
 +
<math> (A-\lambda E)X=\boldsymbol{0} </math>, dvs
 +
 +
 +
<center><math>
 +
\left(\begin{array}{rrr}
 +
2&-4&-4\\
 +
-1&2&2\\
 +
2&-4&-4\\
 +
\end{array}\right)
 +
\Leftrightarrow
 +
x_1-2x_2-2x_3=0
 +
</math></center>
 +
 +
 +
dvs
 +
<math> E_{\lambda=1}=\{\boldsymbol{x}\in{\bf R}^3:\ x_1-2x_2-2x_3=0] </math>.
 +
Vi väljer egenvektorerna <math> t(2,1,0)^t </math>, <math> (2,0,1)^t </math>.
 +
 +
Vi har fått att den algebraiska multipliciteten är 3 (3 egenvärden) och
 +
att den geometriska multipliciteten är bara 2 (2 linjärt oberoende
 +
egenvektorer).
 +
 +
 +
Alltså, vi kan inte hitta en matris <math> T </math> så att <math> A </math> kan diagonaliseras.

Versionen från 19 september 2010 kl. 16.00

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning


Vi subtraherar kolonn 2 från kolonn 3 i sekularekvationen


\displaystyle

0=\left|\begin{array}{ccc} 3-\lambda&-4&-4\\ -1&3-\lambda&2\\ 2&-4&-3-\lambda \end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc} 3-\lambda&0&-4\\ -1&1-\lambda&2\\ 2&-1+\lambda&-3-\lambda \end{array}\right|


\displaystyle

= \left|\begin{array}{ccc} 3-\lambda&0&-4\\ -1&1-\lambda&2\\ 1&0&-1-\lambda \end{array}\right| =(1-\lambda)[(3-\lambda)(-1-\lambda)+4]=(1-\lambda)^3.


Egenvärdena är \displaystyle \lambda_{1,2,3}=1 . Tillhörande egenrum är lösningsmängden till systemet \displaystyle (A-\lambda E)X=\boldsymbol{0} , dvs


\displaystyle

\left(\begin{array}{rrr} 2&-4&-4\\ -1&2&2\\ 2&-4&-4\\ \end{array}\right) \Leftrightarrow x_1-2x_2-2x_3=0


dvs \displaystyle E_{\lambda=1}=\{\boldsymbol{x}\in{\bf R}^3:\ x_1-2x_2-2x_3=0] . Vi väljer egenvektorerna \displaystyle t(2,1,0)^t , \displaystyle (2,0,1)^t .

Vi har fått att den algebraiska multipliciteten är 3 (3 egenvärden) och att den geometriska multipliciteten är bara 2 (2 linjärt oberoende egenvektorer).


Alltså, vi kan inte hitta en matris \displaystyle T så att \displaystyle A kan diagonaliseras.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_22.8e