Tips och lösning till övning 3.5
SamverkanLinalgLIU
(21 mellanliggande versioner visas inte.) | |||
Rad 2: | Rad 2: | ||
'''Tips 1''' | '''Tips 1''' | ||
- | + | Rita en figur som beskriver projektionen av <math>\boldsymbol{u}</math> på <math>\boldsymbol{v}</math> samt <math>\boldsymbol{v}</math> på <math>\boldsymbol{u}</math>. | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 2''' | '''Tips 2''' | ||
- | + | Använd projektionsformeln i de två fallen. | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 3''' | '''Tips 3''' | ||
- | + | Det blir enklare att beräkna absolutbeloppen om man behåller faktorn framför vektorn. | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Lösning''' | '''Lösning''' | ||
- | + | 1. Vektorn <math>\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}</math> är <math>\boldsymbol{u}</math>:s ortogonala projektion på <math>\boldsymbol{v}</math> och beräknas enligt | |
<center><math>\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}} | <center><math>\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}} | ||
- | =\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{ | + | =\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{v}|^2}\boldsymbol{v} |
=\frac{\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} | =\frac{\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} | ||
=\frac{2\cdot1+(-3)\cdot2+6\cdot2}{1\cdot1+2\cdot2+2\cdot2}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} | =\frac{2\cdot1+(-3)\cdot2+6\cdot2}{1\cdot1+2\cdot2+2\cdot2}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} | ||
- | =\frac{8}{9}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} | + | =\frac{8}{9}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}.</math></center> |
+ | samt <math>|\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}|=|\frac{8}{9}|\sqrt{1+2^2+2^2}=\frac{8}{3}</math>. | ||
+ | |||
+ | 2. Vidare är | ||
+ | <center><math>\boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}} | ||
+ | =\frac{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{u}}{|\boldsymbol{u}|^2}\boldsymbol{u} | ||
+ | =\frac{8}{49}\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix} | ||
</math></center> | </math></center> | ||
- | + | amt <math>|\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}|=|\frac{8}{49}|\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}=\frac{8}{7}</math>. |
Nuvarande version
Tips 1
Rita en figur som beskriver projektionen av \displaystyle \boldsymbol{u} på \displaystyle \boldsymbol{v} samt \displaystyle \boldsymbol{v} på \displaystyle \boldsymbol{u}.
Tips 2
Använd projektionsformeln i de två fallen.
Tips 3
Det blir enklare att beräkna absolutbeloppen om man behåller faktorn framför vektorn.
Lösning
1. Vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}} är \displaystyle \boldsymbol{u}:s ortogonala projektion på \displaystyle \boldsymbol{v} och beräknas enligt
=\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{v}|^2}\boldsymbol{v} =\frac{\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} =\frac{2\cdot1+(-3)\cdot2+6\cdot2}{1\cdot1+2\cdot2+2\cdot2}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}
=\frac{8}{9}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}.samt \displaystyle |\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}|=|\frac{8}{9}|\sqrt{1+2^2+2^2}=\frac{8}{3}.
2. Vidare är
=\frac{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{u}}{|\boldsymbol{u}|^2}\boldsymbol{u} =\frac{8}{49}\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}
amt \displaystyle |\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}|=|\frac{8}{49}|\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}=\frac{8}{7}.