Tips och lösning till övning 3.5

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (29 september 2010 kl. 15.12) (redigera) (ogör)
 
(19 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Rita en figur som beskriver projektionen av <math>\boldsymbol{u}</math> på <math>\boldsymbol{v}</math> samt <math>\boldsymbol{v}</math> på <math>\boldsymbol{u}</math>.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
Använd projektionsformeln i de två fallen.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
Det blir enklare att beräkna absolutbeloppen om man behåller faktorn framför vektorn.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
-
# Vektorn <math>\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}</math> är <math>\boldsymbol{u}</math>:s ortogonala projektion på <math>\boldsymbol{v}</math> och beräknas enligt
+
1. Vektorn <math>\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}</math> är <math>\boldsymbol{u}</math>:s ortogonala projektion på <math>\boldsymbol{v}</math> och beräknas enligt
<center><math>\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}
<center><math>\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}
-
=\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{u}|^2}\boldsymbol{v}
+
=\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{v}|^2}\boldsymbol{v}
=\frac{\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}
=\frac{\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}
=\frac{2\cdot1+(-3)\cdot2+6\cdot2}{1\cdot1+2\cdot2+2\cdot2}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}
=\frac{2\cdot1+(-3)\cdot2+6\cdot2}{1\cdot1+2\cdot2+2\cdot2}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}
-
=\frac{8}{9}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}
+
=\frac{8}{9}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}.</math></center>
 +
samt <math>|\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}|=|\frac{8}{9}|\sqrt{1+2^2+2^2}=\frac{8}{3}</math>.
 +
 
 +
2. Vidare är
 +
<center><math>\boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}}
 +
=\frac{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{u}}{|\boldsymbol{u}|^2}\boldsymbol{u}
 +
=\frac{8}{49}\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}
</math></center>
</math></center>
-
samt <math>|\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}|=\frac{8}[9}</math>.
+
amt <math>|\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}|=|\frac{8}{49}|\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}=\frac{8}{7}</math>.

Nuvarande version

Tips 1

Rita en figur som beskriver projektionen av \displaystyle \boldsymbol{u} på \displaystyle \boldsymbol{v} samt \displaystyle \boldsymbol{v} på \displaystyle \boldsymbol{u}.

Tips 2

Använd projektionsformeln i de två fallen.

Tips 3

Det blir enklare att beräkna absolutbeloppen om man behåller faktorn framför vektorn.

Lösning

1. Vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}} är \displaystyle \boldsymbol{u}:s ortogonala projektion på \displaystyle \boldsymbol{v} och beräknas enligt

\displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}

=\frac{\boldsymbol{u}\cdot\boldsymbol{v}}{|\boldsymbol{v}|^2}\boldsymbol{v} =\frac{\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix} =\frac{2\cdot1+(-3)\cdot2+6\cdot2}{1\cdot1+2\cdot2+2\cdot2}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}

=\frac{8}{9}\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}.

samt \displaystyle |\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}|=|\frac{8}{9}|\sqrt{1+2^2+2^2}=\frac{8}{3}.

2. Vidare är

\displaystyle \boldsymbol{v}_{\parallel\boldsymbol{u}}

=\frac{\boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{u}}{|\boldsymbol{u}|^2}\boldsymbol{u} =\frac{8}{49}\begin{pmatrix}2\\-3\\6\end{pmatrix}

amt \displaystyle |\boldsymbol{u}_{\parallel\boldsymbol{v}}|=|\frac{8}{49}|\sqrt{2^2+(-3)^2+6^2}=\frac{8}{7}.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_3.5