Tips och lösning till övning 3.14

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (30 september 2010 kl. 16.26) (redigera) (ogör)
 
(2 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
<math>\boldsymbol{u}</math> ligger i samma plan som <math>\boldsymbol{v}_1</math> och <math>\boldsymbol{v}_2</math> om <math>\boldsymbol{u}</math> är linjärt beroende av <math>\boldsymbol{v}_1</math> och <math>\boldsymbol{v}_2</math>.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
Sök lösningar till ekvationen <math>
 +
\boldsymbol{u}=\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2</math>
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
Koordinaterna för <math>\boldsymbol{u}</math> blir just <math>\lambda_1</math> och <math>\lambda_2</math>
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
-
Vi undersöker linjärt beroende och får
+
Vektorn <math>\boldsymbol{u}</math> ligger i samma plan som spänns upp av
-
<center><math>
+
<math>\boldsymbol{v}_1</math> och <math>\boldsymbol{v}_2</math> om det finns
-
\lambda_1\boldsymbol{f}_1+\lambda_2\boldsymbol{f}_2+\lambda_3\boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow
+
<math>\lambda_1</math> och <math>\lambda_2</math> ej båda 0, så att
-
\left(\begin{array}{ccc} 0&-1&1\\ 1& 2 & 0\\1& 1&2\end{array}\right|\left.\begin{array}{c} 0\\ 0\\0\end{array}\right)
+
-
\Leftrightarrow \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0.
+
-
</math></center>
+
-
Alltså är <math>\underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_1,\boldsymbol{f}_2,\boldsymbol{f}_3\}</math> en bas för rummet.
+
-
En vektor <math>\boldsymbol{u}</math> har samma koordinater <math>x_1</math>,
 
-
<math>x_2</math> och <math>x_3</math> i båda baserna <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> och
 
-
<math>\underline{\boldsymbol{f}}</math> om
 
-
<center><math>
 
-
x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+x_3\boldsymbol{e}_3=\boldsymbol{u}=x_1\boldsymbol{f}_1+x_2\boldsymbol{f}_2+x_3\boldsymbol{f}_3.
 
-
</math></center>
 
-
Sätter vi det givna samabndet i uppgiften mellan baserna får vi
 
-
<center><math>
 
-
x_1\boldsymbol{e}_1+x_2\boldsymbol{e}_2+x_3\boldsymbol{e}_3=\boldsymbol{u}=x_1(\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3)+x_2(-\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_2+\boldsymbol{e}_3)
 
-
+x_3(\boldsymbol{e}_1+2\boldsymbol{e}_3).
 
-
</math></center>
 
-
Flyttar vi högra ledet till vänstra ledet så får vi ett ekvationssystem i dem obekanta:
 
-
<center><math>
 
-
(x_1+x_2-x_3)\boldsymbol{e}_1+(-x_1-x_2)\boldsymbol{e}_2+(-x_1-x_2-x_3)\boldsymbol{e}_3=\boldsymbol{0}
 
-
</math></center>
 
<center><math>
<center><math>
 +
\boldsymbol{u}=\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2\Leftrightarrow
 +
\left(\begin{array}{rr|r}2&1&2\\-1&1&-7\\3&2&1\end{array}\right)
 +
\quad\Leftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{rcr}\lambda_1&=&3\\\lambda_2&=&-4\end{array}\right. </math></center>
-
\Leftrightarrow
 
 +
Vi får alltså att <math>\boldsymbol{u}</math> är en linjärkombination av <math>\boldsymbol{v}_1</math> och <math>\boldsymbol{v}_2</math>, ty
 +
 +
 +
<center><math>
 +
\boldsymbol{u}=3\boldsymbol{v}_1 -4\boldsymbol{v}_2.
</math></center>
</math></center>
-
<center><math>
+
 
-
\left\{\begin{array}{rcrcrcr}x_1&+&x_2&-&x_3&=&0\\-x_1&-&x_2&&&=&0\\-x_1&-&x_2&-&x_3&=&0\end{array}\right.
+
 
 +
Detta betyder att <math>\boldsymbol{u}</math> ligger i samma plan som spänns upp av <math>\boldsymbol{v}_1</math> och <math>\boldsymbol{v}_2</math>.
 +
Geometriskt betyder det att vi kan nå <math>\boldsymbol{u}</math> om
 +
vi går 4 längdenheter i motsatt riktning för <math>\boldsymbol{v}_1</math> och 3 längdenhet i samma riktning som <math>\boldsymbol{v}_2</math>.
 +
Dessa steg av längdenheter längs respektive vektor har vi kallat för koordinater. Alltså har <math>\boldsymbol{u}</math> koordinaterna 3 och <math>-4</math> i basen
 +
<math>\underline{\boldsymbol{v}}=\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\} </math> och vi skriver
 +
 
 +
 
 +
<center><math>
 +
\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{v}}\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}.
</math></center>
</math></center>
-
 
-
Systemet har lösningen <math>x_1=t</math>, <math>x_2=-t</math> och <math>x_3=0</math>.
 
-
Alltså har alla vektorer av typen <math>t \begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0\end{pmatrix} </math> samma
 
-
koordinater i båda baserna, dvs <math>t \underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0\end{pmatrix} =\boldsymbol{u}=t \underline{\boldsymbol{f}}\begin{pmatrix} 1\\ -1\\ 0 \end{pmatrix} </math>.
 

Nuvarande version

Tips 1

\displaystyle \boldsymbol{u} ligger i samma plan som \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 om \displaystyle \boldsymbol{u} är linjärt beroende av \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2.

Tips 2

Sök lösningar till ekvationen \displaystyle \boldsymbol{u}=\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2

Tips 3

Koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u} blir just \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2

Lösning

Vektorn \displaystyle \boldsymbol{u} ligger i samma plan som spänns upp av \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 om det finns \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 ej båda 0, så att


\displaystyle

\boldsymbol{u}=\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr|r}2&1&2\\-1&1&-7\\3&2&1\end{array}\right)

\quad\Leftrightarrow\quad\left\{\begin{array}{rcr}\lambda_1&=&3\\\lambda_2&=&-4\end{array}\right.


Vi får alltså att \displaystyle \boldsymbol{u} är en linjärkombination av \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2, ty


\displaystyle

\boldsymbol{u}=3\boldsymbol{v}_1 -4\boldsymbol{v}_2.


Detta betyder att \displaystyle \boldsymbol{u} ligger i samma plan som spänns upp av \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2. Geometriskt betyder det att vi kan nå \displaystyle \boldsymbol{u} om vi går 4 längdenheter i motsatt riktning för \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och 3 längdenhet i samma riktning som \displaystyle \boldsymbol{v}_2. Dessa steg av längdenheter längs respektive vektor har vi kallat för koordinater. Alltså har \displaystyle \boldsymbol{u} koordinaterna 3 och \displaystyle -4 i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{v}}=\{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\} och vi skriver


\displaystyle

\boldsymbol{u}=\underline{\boldsymbol{v}}\begin{pmatrix}3\\-4\end{pmatrix}.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_3.14