Tips och lösning till övning 3.12c

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''' Mängden <math>\{\boldsymbol{...)
Nuvarande version (2 oktober 2010 kl. 14.57) (redigera) (ogör)
 
(En mellanliggande version visas inte.)
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Se a-uppgiften
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
Se a-uppgiften
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
I detta fall får ekvationssystemet endast den triviala lösningen <math>\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0.</math>
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
Rad 19: Rad 19:
det finns tal <math>\lambda_1</math>, <math>\lambda_2</math> och
det finns tal <math>\lambda_1</math>, <math>\lambda_2</math> och
<math>\lambda_3</math> ej alla noll så att
<math>\lambda_3</math> ej alla noll så att
-
<center><math>\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2+\lambda_3 \boldsymbol{v}_3=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow
+
 
-
\lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+\lambda_3\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\boldsymbol{0}</math></center>
+
 
-
<center><math>\Leftrightarrow
+
<center><math>
-
\left(\begin{array}{rrr|r}0&1&1&0\\1&0&1&0\\1&1&0&0\end{array}\right) \Leftrightarrow
+
\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2+\lambda_3 \boldsymbol{v}_3=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow
-
\cdots \Leftrightarrow\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0.</math></center>
+
\lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+\lambda_3\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\boldsymbol{0}
 +
</math></center>
 +
 
 +
 
 +
<center><math>
 +
\Leftrightarrow
 +
\left(\begin{array}{rrr}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{array}\right|\left.
 +
\begin{array}{r}0\\0\\0\end{array}\right)
 +
\Leftrightarrow
 +
\cdots \Leftrightarrow\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0.
 +
</math></center>
 +
 
 +
 
Alltså är vektorerna <math>\boldsymbol{v}_1</math>, <math>\boldsymbol{v}_2</math> och <math>\boldsymbol{v}_3</math> linjärt oberoende.
Alltså är vektorerna <math>\boldsymbol{v}_1</math>, <math>\boldsymbol{v}_2</math> och <math>\boldsymbol{v}_3</math> linjärt oberoende.

Nuvarande version

Tips 1

Se a-uppgiften

Tips 2

Se a-uppgiften

Tips 3

I detta fall får ekvationssystemet endast den triviala lösningen \displaystyle \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0.

Lösning


Mängden \displaystyle \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3\} är linjärt beroende om det finns tal \displaystyle \lambda_1, \displaystyle \lambda_2 och \displaystyle \lambda_3 ej alla noll så att


\displaystyle

\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2+\lambda_3 \boldsymbol{v}_3=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow \lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+\lambda_3\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\boldsymbol{0}


\displaystyle

\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{array}\right|\left. \begin{array}{r}0\\0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow \cdots \Leftrightarrow\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0.


Alltså är vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1, \displaystyle \boldsymbol{v}_2 och \displaystyle \boldsymbol{v}_3 linjärt oberoende.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_3.12c