Tips och lösning till övning 3.12c
SamverkanLinalgLIU
Rad 19: | Rad 19: | ||
det finns tal <math>\lambda_1</math>, <math>\lambda_2</math> och | det finns tal <math>\lambda_1</math>, <math>\lambda_2</math> och | ||
<math>\lambda_3</math> ej alla noll så att | <math>\lambda_3</math> ej alla noll så att | ||
- | <center><math>\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2+\lambda_3 \boldsymbol{v}_3=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow | + | |
- | \lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+\lambda_3\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\boldsymbol{0}</math></center> | + | |
- | <center><math>\Leftrightarrow | + | <center><math> |
- | \left(\begin{array}{rrr | + | \lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2+\lambda_3 \boldsymbol{v}_3=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow |
- | \cdots \Leftrightarrow\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0.</math></center> | + | \lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+\lambda_3\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\boldsymbol{0} |
+ | </math></center> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <center><math> | ||
+ | \Leftrightarrow | ||
+ | \left(\begin{array}{rrr}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{array}\right|\left. | ||
+ | \begin{array}{r}0\\0\\0\end{array}\right) | ||
+ | \Leftrightarrow | ||
+ | \cdots \Leftrightarrow\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0. | ||
+ | </math></center> | ||
+ | |||
+ | |||
Alltså är vektorerna <math>\boldsymbol{v}_1</math>, <math>\boldsymbol{v}_2</math> och <math>\boldsymbol{v}_3</math> linjärt oberoende. | Alltså är vektorerna <math>\boldsymbol{v}_1</math>, <math>\boldsymbol{v}_2</math> och <math>\boldsymbol{v}_3</math> linjärt oberoende. |
Nuvarande version
Tips 1
Se a-uppgiften
Tips 2
Se a-uppgiften
Tips 3
I detta fall får ekvationssystemet endast den triviala lösningen \displaystyle \lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0.
Lösning
Mängden \displaystyle \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2,\boldsymbol{v}_3\} är linjärt beroende om det finns tal \displaystyle \lambda_1, \displaystyle \lambda_2 och \displaystyle \lambda_3 ej alla noll så att
\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2+\lambda_3 \boldsymbol{v}_3=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow \lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}+\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\0\\1\end{pmatrix}+\lambda_3\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\0\end{pmatrix}=\boldsymbol{0}
\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}0&1&1\\1&0&1\\1&1&0\end{array}\right|\left. \begin{array}{r}0\\0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow \cdots \Leftrightarrow\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=0.
Alltså är vektorerna \displaystyle \boldsymbol{v}_1, \displaystyle \boldsymbol{v}_2 och \displaystyle \boldsymbol{v}_3 linjärt oberoende.