Tips och lösning till U 15.4a

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''')
Nuvarande version (11 november 2010 kl. 15.14) (redigera) (ogör)
 
(3 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Vi börjar med att fastställa dimensionen på W så att vi vet hur många koordinater som skall bestämmas.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
Vi ser direkt att dimensionen för W är två så om vi sätter <math> W=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2] </math> så gäller att <center><math>
 +
\boldsymbol{u}_{\parallel W} = \lambda_1 \boldsymbol{v}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{v}_2,
 +
</math></center> är den vektor som ligger närmast <math> \boldsymbol{u} </math>. Vi har tidigare sett att <center><math>
 +
\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}}
 +
</math></center> Det betyder att felet kan beräknas som <center><math>
 +
||\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}}||=||\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{\parallel W}||
 +
</math></center> Hur skall vi nu finna den sökta storheten <math>
 +
\boldsymbol{u}_{\parallel W}?</math>
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
Idéen är att vi i stället söker storheten <math>\boldsymbol{u}</math> via relationen <center><math>
 +
\boldsymbol{u} = \lambda_1\boldsymbol{v}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{v}_2
 +
</math></center>, men detta system har ju ingen lösning så vi löser i stället normalekvationen <center><math>
 +
A^tA\boldsymbol{x}=A^t\boldsymbol{b}</math></center> som i detta fall blir <center><math>
 +
\left(\begin{array}{rrrr}1&2&2\\3&0&3\end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{rr}1&3\\2&0\\2&3\end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r}\lambda_1 \\ \lambda_2\end{array}\right)
 +
=
 +
\left(\begin{array}{rrrr}1&2&2\\3&0&3\end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)
 +
</math></center>
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
 +
 +
 +
Vi har att <math> W=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2] </math> där <math> \boldsymbol{v}_1 </math> och <math> \boldsymbol{v}_2 </math> är linjärt oberoende vilket ger att <math> \dim W=2 </math>,
 +
Vi söker <math> \boldsymbol{u}_{\parallel W}\in W </math>, dvs vi söker <math> \lambda_1 </math> och
 +
<math> \lambda_2 </math> så att
 +
<center><math>
 +
\boldsymbol{u}_{\parallel W} = \lambda_1 \boldsymbol{v}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{v}_2,
 +
</math></center>
 +
ligger närmast <math> \boldsymbol{u} </math>. Eftersom vektorn <math> \boldsymbol{u} </math> kan delas upp i
 +
<center><math>
 +
\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}},
 +
</math></center>
 +
så vill vi att felet
 +
<center><math>
 +
||\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}}||=||\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{\parallel W}||
 +
</math></center>
 +
ska bli så litet som möjligt.
 +
 +
Vi sätter upp relationen
 +
<center><math>
 +
\boldsymbol{u} = \lambda_1\boldsymbol{v}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{v}_2
 +
</math></center>
 +
<center><math>\Leftrightarrow</math></center>
 +
<center><math>
 +
\lambda_1\left(\begin{array}{r}1\\2\\2\end{array}\right)
 +
+\lambda_2 \left(\begin{array}{r} 3\\0\\3\end{array}\right)
 +
=\left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)
 +
\Leftrightarrow
 +
\left(\begin{array}{rr}1&3\\2&0\\2&3\end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r}\lambda_1 \\ \lambda_2\end{array}\right)
 +
=
 +
\left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)
 +
</math></center>
 +
Detta system saknar lösning! Minsta kvadratmetoden där vi läser
 +
normalekvationen ger
 +
<center><math>
 +
\left(\begin{array}{rrrr}1&2&2\\3&0&3\end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{rr}1&3\\2&0\\2&3\end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r}\lambda_1 \\ \lambda_2\end{array}\right)
 +
=
 +
\left(\begin{array}{rrrr}1&2&2\\3&0&3\end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)
 +
</math></center>
 +
<center><math>
 +
\Leftrightarrow
 +
\left(\begin{array}{rr|r}9&9&1\\9&18&3\end{array}\right)
 +
\Leftrightarrow
 +
\left\{\begin{array}{rcr}\lambda_1&=&-1/9\\\lambda_2&=&2/9\end{array}\right.
 +
</math></center>
 +
Alltså har vi att
 +
<center><math>\boldsymbol{u}_{\parallel W} =-\frac{1}{9} \boldsymbol{v}_1 + \frac{2}{9} \boldsymbol{v}_2
 +
=-\frac{1}{9} \left(\begin{array}{r}1\\2\\2\end{array}\right) +
 +
\frac{2}{9} \left(\begin{array}{r}3\\0\\3\end{array}\right)
 +
=\frac{1}{9} \left(\begin{array}{r}5\\-2\\4\end{array}\right)
 +
</math></center>
 +
Vidare ger detta att
 +
<center><math>\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}}=\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{\parallel W}
 +
=\frac{1}{9} \left(\begin{array}{r}4\\2\\-4\end{array}\right)
 +
</math></center>

Nuvarande version

Tips 1

Vi börjar med att fastställa dimensionen på W så att vi vet hur många koordinater som skall bestämmas.

Tips 2

Vi ser direkt att dimensionen för W är två så om vi sätter \displaystyle W=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2] så gäller att
\displaystyle

\boldsymbol{u}_{\parallel W} = \lambda_1 \boldsymbol{v}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{v}_2,

är den vektor som ligger närmast \displaystyle \boldsymbol{u} . Vi har tidigare sett att
\displaystyle

\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}}

Det betyder att felet kan beräknas som
\displaystyle

||\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}}||=||\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{\parallel W}||

Hur skall vi nu finna den sökta storheten \displaystyle

\boldsymbol{u}_{\parallel W}?

Tips 3

Idéen är att vi i stället söker storheten \displaystyle \boldsymbol{u} via relationen
\displaystyle

\boldsymbol{u} = \lambda_1\boldsymbol{v}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{v}_2

, men detta system har ju ingen lösning så vi löser i stället normalekvationen
\displaystyle A^tA\boldsymbol{x}=A^t\boldsymbol{b}
som i detta fall blir
\displaystyle

\left(\begin{array}{rrrr}1&2&2\\3&0&3\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}1&3\\2&0\\2&3\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}\lambda_1 \\ \lambda_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrrr}1&2&2\\3&0&3\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)

Lösning


Vi har att \displaystyle W=[\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2] där \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 är linjärt oberoende vilket ger att \displaystyle \dim W=2 , Vi söker \displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W}\in W , dvs vi söker \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 så att

\displaystyle

\boldsymbol{u}_{\parallel W} = \lambda_1 \boldsymbol{v}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{v}_2,

ligger närmast \displaystyle \boldsymbol{u} . Eftersom vektorn \displaystyle \boldsymbol{u} kan delas upp i

\displaystyle

\boldsymbol{u}=\boldsymbol{u}_{\parallel W}+\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}},

så vill vi att felet

\displaystyle

||\boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}}||=||\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{\parallel W}||

ska bli så litet som möjligt.

Vi sätter upp relationen

\displaystyle

\boldsymbol{u} = \lambda_1\boldsymbol{v}_1 + \lambda_2 \boldsymbol{v}_2

\displaystyle \Leftrightarrow
\displaystyle

\lambda_1\left(\begin{array}{r}1\\2\\2\end{array}\right) +\lambda_2 \left(\begin{array}{r} 3\\0\\3\end{array}\right) =\left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr}1&3\\2&0\\2&3\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}\lambda_1 \\ \lambda_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)

Detta system saknar lösning! Minsta kvadratmetoden där vi läser normalekvationen ger

\displaystyle

\left(\begin{array}{rrrr}1&2&2\\3&0&3\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}1&3\\2&0\\2&3\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}\lambda_1 \\ \lambda_2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrrr}1&2&2\\3&0&3\end{array}\right) \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)

\displaystyle

\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr|r}9&9&1\\9&18&3\end{array}\right) \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcr}\lambda_1&=&-1/9\\\lambda_2&=&2/9\end{array}\right.

Alltså har vi att

\displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W} =-\frac{1}{9} \boldsymbol{v}_1 + \frac{2}{9} \boldsymbol{v}_2

=-\frac{1}{9} \left(\begin{array}{r}1\\2\\2\end{array}\right) + \frac{2}{9} \left(\begin{array}{r}3\\0\\3\end{array}\right) =\frac{1}{9} \left(\begin{array}{r}5\\-2\\4\end{array}\right)

Vidare ger detta att

\displaystyle \boldsymbol{u}_{\parallel W^{\perp}}=\boldsymbol{u}-\boldsymbol{u}_{\parallel W}

=\frac{1}{9} \left(\begin{array}{r}4\\2\\-4\end{array}\right)

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_15.4a