Tips och lösning till U 22.3a

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (18 november 2010 kl. 14.53) (redigera) (ogör)
 
(2 mellanliggande versioner visas inte.)
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Vi börjar med att fundera på när sekularekvationen har icke trivial lösning.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
Sekularekvationen har utseendet <math>(A-\lambda E)X=\boldsymbol{0},
 +
</math>. Detta är ett homogent ekvationssystem vars icke triviala lösningar sökes. Dessa erhålles då ekvationssystemets determinant är noll. Detta ger oss egenvärdena.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
Vi ska alltså lösa ekvationen <math>
 +
0=\det(A-\lambda E)=
 +
\left| \begin{array}{rrr} 3-\lambda& 1& 0\\ 0 & 3-\lambda& 0\\ 0 & 0& 1-\lambda \end{array}\right|</math> vilket ger oss tre lösningar varav en är dubbelrot.
 +
 
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
Rad 30: Rad 34:
där <math> E </math> är enhetsmatrisen. För att undvika trivial lösningen <math> X=\boldsymbol{0} </math>, söker vi <math> \lambda </math> som är en rot till
där <math> E </math> är enhetsmatrisen. För att undvika trivial lösningen <math> X=\boldsymbol{0} </math>, söker vi <math> \lambda </math> som är en rot till
-
sekularekvationen <math> \dete(A-\lambda E)=0 </math>. Vi får
+
sekularekvationen <math> \det(A-\lambda E)=0 </math>. Vi får
<center><math>
<center><math>
-
0=\dete(A-\lambda
+
0=\det(A-\lambda E)=
-
E)=\trdetc{3-\lambda}100{3-\lambda}000{1-\lambda}=(1-\lambda)(3-\lambda)^2.
+
\left| \begin{array}{rrr} 3-\lambda& 1& 0\\ 0 & 3-\lambda& 0\\ 0 & 0& 1-\lambda \end{array}\right|
 +
=(1-\lambda)(3-\lambda)^2.
</math></center>
</math></center>

Nuvarande version

Tips 1

Vi börjar med att fundera på när sekularekvationen har icke trivial lösning.

Tips 2

Sekularekvationen har utseendet \displaystyle (A-\lambda E)X=\boldsymbol{0}, . Detta är ett homogent ekvationssystem vars icke triviala lösningar sökes. Dessa erhålles då ekvationssystemets determinant är noll. Detta ger oss egenvärdena.

Tips 3

Vi ska alltså lösa ekvationen \displaystyle 0=\det(A-\lambda E)= \left| \begin{array}{rrr} 3-\lambda& 1& 0\\ 0 & 3-\lambda& 0\\ 0 & 0& 1-\lambda \end{array}\right| vilket ger oss tre lösningar varav en är dubbelrot.

Lösning


Låt \displaystyle A vara \displaystyle F :s matris. \displaystyle \lambda är ett egenvärde till \displaystyle F med tillhörande egenvektor \displaystyle \boldsymbol{v}=\underline{\boldsymbol{e}} X om


\displaystyle

F(\boldsymbol{v})=\lambda\boldsymbol{v}\Leftrightarrow F(\underline{\boldsymbol{e}}X)=\underline{\boldsymbol{e}}\lambda X \Leftrightarrow 

                      \underline{\boldsymbol{e}}AX=\underline{\boldsymbol{e}}\lambda X \Leftrightarrow
                      (A-\lambda E)X=\boldsymbol{0},


där \displaystyle E är enhetsmatrisen. För att undvika trivial lösningen \displaystyle X=\boldsymbol{0} , söker vi \displaystyle \lambda som är en rot till sekularekvationen \displaystyle \det(A-\lambda E)=0 . Vi får


\displaystyle

0=\det(A-\lambda E)= \left| \begin{array}{rrr} 3-\lambda& 1& 0\\ 0 & 3-\lambda& 0\\ 0 & 0& 1-\lambda \end{array}\right| =(1-\lambda)(3-\lambda)^2.


Alltså är egenvärden \displaystyle \lambda_1=1 , \displaystyle \lambda_{2,3}=3 .

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_22.3a