Tips och lösning till U 13.17
SamverkanLinalgLIU
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''') |
|||
Rad 13: | Rad 13: | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Lösning''' | '''Lösning''' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Vi behöver bestämma <math> \dim W </math> och en ON-bas i <math> W </math>. För detta behöver vi antalet linjärt oberoende vektorer som spänner upp <math> W </math>. Vi börjar därför med att bestämma skärningsmängden mellan de båda hyperplanen | ||
+ | <center><math> | ||
+ | \left\{\begin{array}{rcrcrcrcr}x_1&-&x_2&+&x_3&+&x_4&=&0\\ | ||
+ | x_1&-&x_2&+&2x_3&+&x_4&=&0\end{array}\right. | ||
+ | \left\{\begin{array}{rcrcrcrcr}x_1&-&x_2&+&x_3&+&x_4&=&0\\ | ||
+ | &&&&x_3&&&=&0\end{array}\right. | ||
+ | </math></center> | ||
+ | som ges av <math> x_4=-t </math>, <math> x_3=0 </math>, <math> x_2=s </math> och <math> x_1=s+t </math>, dvs | ||
+ | <center><math> | ||
+ | \boldsymbol{x}=s(1,1,0,0)^t+t(1,0,0,-1)^t. | ||
+ | </math></center> | ||
+ | Alltså är <math> \boldsymbol{v}_1=(1,1,0,0)^t </math>, <math> \boldsymbol{v}_2=(1,0,0,-1)^t </math> en bas | ||
+ | för <math> W </math>, så att | ||
+ | <math> W=[(1,1,0,0)^t,(1,0,0,-1)^t] </math> och <math> \dim W=2 </math>. | ||
+ | Vi använder G-S process på <math> W </math>. Låt | ||
+ | <center><math> | ||
+ | \boldsymbol{e}_1=\frac{1}{\sqrt2}(1,1,0,0)^t. | ||
+ | </math></center> | ||
+ | Sätt | ||
+ | <center><math> | ||
+ | \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{v}_2-(\boldsymbol{v}_2|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1=\frac{1}{2}(1,-1,0,-2)^t. | ||
+ | </math></center> | ||
+ | och låt | ||
+ | <center><math> | ||
+ | \boldsymbol{e}_2=\frac{1}{||\boldsymbol{f}_2||}\boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,0,-2)^t. | ||
+ | </math></center> | ||
+ | Vi kompletterar nu basen för <math> W </math> till hela <math> {\bf E}^4 </math> genom att söka | ||
+ | <math> \boldsymbol{w}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf E}^4 </math>, så att | ||
+ | <center><math> | ||
+ | \left\{\begin{array}{rcrcr} | ||
+ | (\boldsymbol{w}|\boldsymbol{v}_1)&=&x_1+x_2&=&0\\ | ||
+ | (\boldsymbol{w}|\boldsymbol{v}_2)&=&x_1-x_4&=&0 | ||
+ | \end{array}\right. | ||
+ | </math></center> | ||
+ | Systemet har lösningen <math> x_1=t </math>, <math> x_2=-t </math>. <math> x_3=s </math>, <math> x_4=t </math> vilket ger | ||
+ | vektorerna <math> \boldsymbol{w}_1=t(1,-1,0,1)^t </math> och <math> \boldsymbol{w}_2=(0,0,0,1,0)^t </math>. | ||
+ | Vi observerar att <math> \boldsymbol{w}_1 </math> och <math> \boldsymbol{w}_2 </math> är ortogonala. | ||
+ | Vi har alltså att <math> \boldsymbol{e}_1=\frac{1}{\sqrt2}(1,1,0,0)^t </math> | ||
+ | <math> \boldsymbol{e}_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,0,-2)^t. </math> | ||
+ | <math> \boldsymbol{e}_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,0,1)^t </math> | ||
+ | och <math> \boldsymbol{e}_4=(0,0,1,0)^t </math> är en ON-bas <math> \in{\bf E}^4 </math>. |
Versionen från 12 september 2010 kl. 09.28
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Vi behöver bestämma \displaystyle \dim W och en ON-bas i \displaystyle W . För detta behöver vi antalet linjärt oberoende vektorer som spänner upp \displaystyle W . Vi börjar därför med att bestämma skärningsmängden mellan de båda hyperplanen
\left\{\begin{array}{rcrcrcrcr}x_1&-&x_2&+&x_3&+&x_4&=&0\\
x_1&-&x_2&+&2x_3&+&x_4&=&0\end{array}\right. \left\{\begin{array}{rcrcrcrcr}x_1&-&x_2&+&x_3&+&x_4&=&0\\ &&&&x_3&&&=&0\end{array}\right.
som ges av \displaystyle x_4=-t , \displaystyle x_3=0 , \displaystyle x_2=s och \displaystyle x_1=s+t , dvs
\boldsymbol{x}=s(1,1,0,0)^t+t(1,0,0,-1)^t.
Alltså är \displaystyle \boldsymbol{v}_1=(1,1,0,0)^t , \displaystyle \boldsymbol{v}_2=(1,0,0,-1)^t en bas för \displaystyle W , så att \displaystyle W=[(1,1,0,0)^t,(1,0,0,-1)^t] och \displaystyle \dim W=2 . Vi använder G-S process på \displaystyle W . Låt
\boldsymbol{e}_1=\frac{1}{\sqrt2}(1,1,0,0)^t.
Sätt
\boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{v}_2-(\boldsymbol{v}_2|\boldsymbol{e}_1)\boldsymbol{e}_1=\frac{1}{2}(1,-1,0,-2)^t.
och låt
\boldsymbol{e}_2=\frac{1}{||\boldsymbol{f}_2||}\boldsymbol{f}_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,0,-2)^t.
Vi kompletterar nu basen för \displaystyle W till hela \displaystyle {\bf E}^4 genom att söka \displaystyle \boldsymbol{w}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in{\bf E}^4 , så att
\left\{\begin{array}{rcrcr} (\boldsymbol{w}|\boldsymbol{v}_1)&=&x_1+x_2&=&0\\ (\boldsymbol{w}|\boldsymbol{v}_2)&=&x_1-x_4&=&0 \end{array}\right.
Systemet har lösningen \displaystyle x_1=t , \displaystyle x_2=-t . \displaystyle x_3=s , \displaystyle x_4=t vilket ger vektorerna \displaystyle \boldsymbol{w}_1=t(1,-1,0,1)^t och \displaystyle \boldsymbol{w}_2=(0,0,0,1,0)^t . Vi observerar att \displaystyle \boldsymbol{w}_1 och \displaystyle \boldsymbol{w}_2 är ortogonala. Vi har alltså att \displaystyle \boldsymbol{e}_1=\frac{1}{\sqrt2}(1,1,0,0)^t \displaystyle \boldsymbol{e}_2=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,0,-2)^t. \displaystyle \boldsymbol{e}_3=\frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,0,1)^t och \displaystyle \boldsymbol{e}_4=(0,0,1,0)^t är en ON-bas \displaystyle \in{\bf E}^4 .