Tips och lösning till övning 17.38

Tips 1

Grundidéen i denna typ av problem är att genomföra ett basbyte så att

• det blir lätt att ta fram avbildningsmatrisen \displaystyle A_{\boldsymbol{f}} i den nya basen
• det är ett byte mellan ON-baser (det blir ju lätt att ta fram inversen till basbytesmatrisen \displaystyle T genom att det räcker att transponera densamma)

Man avslutar sedan uppgiften genom att ta fram avbildningsmatrisen \displaystyle A_{\boldsymbol{e}} för i den ursprungliga basen genom sambandet \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}=TA_{\boldsymbol{f}}T^t

Tips 2

a och b) I den nya HON-basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} låter du \displaystyle \boldsymbol{f}_1 vara en enhetsvektor parallell med rotationsaxeln och \displaystyle \boldsymbol{f}_2 ortogonal mot \displaystyle \boldsymbol{f}_1. \displaystyle \boldsymbol{f}_3 skall vara ortogonal mot det plan som spänns upp av \displaystyle \boldsymbol{f}_1 och \displaystyle \boldsymbol{f}_2. Du har nu basbytesmatrisen \displaystyle T.

Tips 3

Avbildningsmatriserna \displaystyle A_{\boldsymbol{f}}respektive \displaystyle B_{\boldsymbol{f}} erhålles nu genom att avbilda (rotera) de nya basvektorerna, dvs

a) *\displaystyle \boldsymbol{f}_1 avbildas på \displaystyle \boldsymbol{f}_1

• \displaystyle \boldsymbol{f}_2 avbildas på \displaystyle \boldsymbol{f}_3
• \displaystyle \boldsymbol{f}_3 avbildas på -\displaystyle \boldsymbol{f}_2

b) *\displaystyle \boldsymbol{f}_1 avbildas på \displaystyle \boldsymbol{f}_1

• \displaystyle \boldsymbol{f}_2 avbildas på -\displaystyle \boldsymbol{f}_1
• \displaystyle \boldsymbol{f}_3 avbildas på \displaystyle \boldsymbol{f}_2

Ett alternativ är att

Lösning

a) Byt till en ny höger ON-bas \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}, där \displaystyle \boldsymbol{f}_1 är en enhetsvektor parallell med rotationsaxeln \displaystyle L, dvs \displaystyle \boldsymbol{f}_1=\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2\\2\\{-1}\end{pmatrix}. Vidare väljer vi t.ex., \displaystyle \boldsymbol{f}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{3}\begin{pmatrix}2\\{-1}\\2\end{pmatrix} och till sist \displaystyle \boldsymbol{f}_3=\boldsymbol{f}_1\times\boldsymbol{f}_2=\underline{\boldsymbol{e}}\frac{1}{3}\begin{pmatrix}1\\{-2}\\{-2}.\end{pmatrix} Bassambandet är

Avbildningsmatrisen i den nya basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}} ges av \displaystyle A_{\boldsymbol{f}}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&{-1}\\0&1&0\end{pmatrix} och i den gamla basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} av

b) Eftersom rotationen är kring samma linje som i a), så inför vi samma nya ON-bas. Dock är vinkeln här \displaystyle \theta=3\pi/2 och avbildningsmatrisen är därmed \displaystyle B_{\boldsymbol{f}}=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&{-1}&0\end{pmatrix}. Vi observerar att eftersom rotationen är 3 gånger vinkeln i a), så är \displaystyle G=F^3 och därmed \displaystyle B_{\boldsymbol{f}}=A_{\boldsymbol{f}}^3. Matrisen i den gamla basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} av

c) Vi tolkar \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}^4 som matrisen för an rotation 4 gånger vinkeln i a), dvs vinkeln \displaystyle 4\cdot\frac{\pi}{2}=2\pi. Därmed har vi roterat tillbaka till ursprungsläger, så att \displaystyle A_{\boldsymbol{e}}^4=E.