Tips och lösning till övning 3.10a
SamverkanLinalgLIU
Rad 2: | Rad 2: | ||
'''Tips 1''' | '''Tips 1''' | ||
- | Låt tex <math>\boldsymbol{u} = \begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix}</math>. Beskriv <math>\boldsymbol{u}</math> som en linjärkombination (se definition 2.1) av <math>\boldsymbol{ | + | Låt tex <math>\boldsymbol{u} = \begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix}</math>. Beskriv <math>\boldsymbol{u}</math> som en linjärkombination (se definition 2.1) av <math>\boldsymbol{u}_1</math> och <math>\boldsymbol{u}_3</math> |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 2''' | '''Tips 2''' | ||
- | + | Linjärkombinationen blir <math>\lambda_1 \boldsymbol{u}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{u}_3=\boldsymbol{u} | |
+ | \Leftrightarrow | ||
+ | \lambda_1 \begin{pmatrix}4\\1\\{-5}\end{pmatrix}+\lambda_2 | ||
+ | \begin{pmatrix}{-9}\\{-7}\\{-3}\end{pmatrix} | ||
+ | =\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix},</math> | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 3''' | '''Tips 3''' | ||
- | + | Multiplicera in <math>\lambda_1</math> och <math>\lambda_2</math> och skriv systemet på matrisform. Undersök sedan om systemet har någon lösning. | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Lösning''' | '''Lösning''' |
Nuvarande version
Tips 1
Låt tex \displaystyle \boldsymbol{u} = \begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix}. Beskriv \displaystyle \boldsymbol{u} som en linjärkombination (se definition 2.1) av \displaystyle \boldsymbol{u}_1 och \displaystyle \boldsymbol{u}_3
Tips 2
Linjärkombinationen blir \displaystyle \lambda_1 \boldsymbol{u}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{u}_3=\boldsymbol{u} \Leftrightarrow \lambda_1 \begin{pmatrix}4\\1\\{-5}\end{pmatrix}+\lambda_2 \begin{pmatrix}{-9}\\{-7}\\{-3}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix},
Tips 3
Multiplicera in \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 och skriv systemet på matrisform. Undersök sedan om systemet har någon lösning.
Lösning
\displaystyle V är mängden av alla
\displaystyle \boldsymbol{u} = \begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix} sådana att
\Leftrightarrow \lambda_1 \begin{pmatrix}4\\1\\{-5}\end{pmatrix}+\lambda_2 \begin{pmatrix}{-9}\\{-7}\\{-3}\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}{x_1}\\{x_2}\\{x_3}\end{pmatrix},\left(\begin{array}{rr} 4&-9\\ 1&-7\\ -5&-3 \end{array}\right|\left.\begin{array}{c} x_1\\x_2\\ x_3\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr} 0&19\\ 1&-7\\ 0&0 \end{array}\right|\left.\begin{array}{c} x_1-4x_2\\x_2\\ 2x_1-3x_2+x_3\end{array}\right).
Även här måste vi kräva att
Detta betyder att
är ett plan genom origo.