Tips och lösning till övning 3.15
SamverkanLinalgLIU
| Rad 2: | Rad 2: | ||
'''Tips 1''' | '''Tips 1''' | ||
| - | + | Det krävs två saker för att en uppsättning vektorer skall vara en bas; Rätt ental vektorer ( i detta fall två stycken) samt att de är linjärt oberoende. | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 2''' | '''Tips 2''' | ||
| - | + | Vektorerna är linjärt oberoende om <math> | |
| + | \lambda_1 \boldsymbol{f}_1+\lambda_2 \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{0}</math> endast har den triviala lösningen. | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 3''' | '''Tips 3''' | ||
| - | + | För att ange koordinaterna i den nya basen behöver du bestämma <math>\lambda_1</math> och <math>\lambda_2</math> i ekvationssystemet <math>\boldsymbol{u}=\lambda_1\boldsymbol{f}_1+\lambda_2\boldsymbol{f}_2</math>. Koordinaterna för de olika vektorerna finner du i uppgiftens formulering. | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Lösning''' | '''Lösning''' | ||
Nuvarande version
Tips 1
Det krävs två saker för att en uppsättning vektorer skall vara en bas; Rätt ental vektorer ( i detta fall två stycken) samt att de är linjärt oberoende.
Tips 2
Vektorerna är linjärt oberoende om \displaystyle \lambda_1 \boldsymbol{f}_1+\lambda_2 \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{0} endast har den triviala lösningen.
Tips 3
För att ange koordinaterna i den nya basen behöver du bestämma \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 i ekvationssystemet \displaystyle \boldsymbol{u}=\lambda_1\boldsymbol{f}_1+\lambda_2\boldsymbol{f}_2. Koordinaterna för de olika vektorerna finner du i uppgiftens formulering.
Lösning
1. Vi börjar med att visa att mängden \displaystyle \{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2}\} är en bas för planet. Eftersom antalet givna vektorer är rätt, dvs 2 i planet, så räcker det med att visa att dessa är linjärt oberoende. Eftersom systemet
\lambda_1 \boldsymbol{f}_1+\lambda_2 \boldsymbol{f}_2=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow
\lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}+\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}=\boldsymbol{0}
\Leftrightarrow
\left(\begin{array}{cc} -1&3\\ 2&4 \end{array}\right|\left.\begin{array}{c} 0\\ 0\end{array}\right)
\Leftrightarrow
\left(\begin{array}{cc} -1&0\\ 0&10 \end{array}\right|\left.\begin{array}{c} 0\\ 0\end{array}\right)
endast har den triviala lösningen \displaystyle \lambda_1=\lambda_2=0 , så är \displaystyle \{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2}\} en bas för planet.
Vi sätter då \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}=\{\boldsymbol{f}_{1},\boldsymbol{f}_{2}\}.
2. Vi bestämmer nu koordinaterna för \displaystyle \boldsymbol{u} i den nya basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}. Vi behöver bestämma steglängder \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2
vi behöver gå längs basvektorerna \displaystyle \boldsymbol{f}_1 resp. \displaystyle \boldsymbol{f}_2 (eller deras motsatta riktning) för att nå \displaystyle \boldsymbol{u}, dvs vi söker
en lösning på systemet
\lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}-1\\2\end{pmatrix}+\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix}
\Leftrightarrow
\left(\begin{array}{cc} -1&3\\ 2&4 \end{array}\right|\left.\begin{array}{c} 4\\ 2\end{array}\right).
Denna lösning är \displaystyle \lambda_1=-1 och \displaystyle \lambda_2=1 . Dessa är \displaystyle \boldsymbol{u}:s koordinater i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}, dvs
