Tips och lösning till övning 3.18b

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Uttryck vektorn <math>\boldsymbol{u}</math> i basen <math>\underline{\boldsymbol{e}}</math> och basen <math>\underline{\boldsymbol{f}}</math>.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
Du får nu <math>\boldsymbol{u}</math> på följande två sätt
 +
<math>
 +
\boldsymbol{e}_1-3 \boldsymbol{e}_2 +\boldsymbol{e}_3
 +
=\boldsymbol{u}
 +
=2 \boldsymbol{f}_1 +3 \boldsymbol{f}_2 -2 \boldsymbol{f}_3
 +
.</math>
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
Lös den ekvation du fick och kontrollera sedan att <math>\boldsymbol{f}_3</math> uppfyller det villkor du räknade fram i a-uppgiften.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''

Versionen från 1 oktober 2010 kl. 07.47

Tips 1

Uttryck vektorn \displaystyle \boldsymbol{u} i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{e}} och basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{f}}.

Tips 2

Du får nu \displaystyle \boldsymbol{u} på följande två sätt \displaystyle \boldsymbol{e}_1-3 \boldsymbol{e}_2 +\boldsymbol{e}_3 =\boldsymbol{u} =2 \boldsymbol{f}_1 +3 \boldsymbol{f}_2 -2 \boldsymbol{f}_3 .

Tips 3

Lös den ekvation du fick och kontrollera sedan att \displaystyle \boldsymbol{f}_3 uppfyller det villkor du räknade fram i a-uppgiften.

Lösning


Av alla \displaystyle \boldsymbol{f}_3=\begin{pmatrix} x_1\\ x_2\\ x_3\end{pmatrix} \notin U söker vi den som uppfyller


\displaystyle

\boldsymbol{e}_1-3 \boldsymbol{e}_2 +\boldsymbol{e}_3 =\boldsymbol{u} =2 \boldsymbol{f}_1 +3 \boldsymbol{f}_2 -2 \boldsymbol{f}_3 = 2\boldsymbol{e}_1 +\boldsymbol{e}_1 +3\boldsymbol{e}_1 +\boldsymbol{e}_2-\boldsymbol{e}_3 =2(x_1\boldsymbol{e}_1+x_2 \boldsymbol{e}_2 +x_3 \boldsymbol{e}_3 ).


Om vi hyfsar till högra ledet, så får vi


\displaystyle

\boldsymbol{e}_1-3 \boldsymbol{e}_2 +\boldsymbol{e}_3 =(5+2x_1) \boldsymbol{e}_1 + (5+2x_2) \boldsymbol{e}_2 + (-3+2x_3) \boldsymbol{e}_3,


dvs \displaystyle x_1=-2, \displaystyle x_2=-4 och \displaystyle x_3=2 . Alltså skall vi välja \displaystyle \boldsymbol{f}_3=\begin{pmatrix} -2\\ -4\\ 2\end{pmatrix} .

Vi kontrellerar också att \displaystyle \boldsymbol{f}_3\notin U, \displaystyle \boldsymbol{f}_1 , \displaystyle \boldsymbol{f}_2 och \displaystyle \boldsymbol{f}_3 är en bas för rummet.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_%C3%B6vning_3.18b