Tips och lösning till övning 3.8a
SamverkanLinalgLIU
Rad 2: | Rad 2: | ||
'''Tips 1''' | '''Tips 1''' | ||
- | + | Beskriv <math>\boldsymbol{u}_1</math> som en linjärkombination (se definition 2.1) av <math>\boldsymbol{v}_1</math> och <math>\boldsymbol{v}_2</math> | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 2''' | '''Tips 2''' | ||
- | + | Linjärkombinationen blir <center><math>\boldsymbol{u}_1=\lambda_1 \boldsymbol{v}_1 +\lambda_2 \boldsymbol{v}_2\Leftrightarrow\lambda_1\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}+\lambda_2\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\underline{\boldsymbol{e}}\begin{pmatrix}4\\1\\-5\end{pmatrix}. | |
+ | </math> </center> | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 3''' | '''Tips 3''' | ||
- | + | Multiplicera in <math>\lambda_1</math> och <math>\lambda_2</math> och skriv systemet på matrisform. Undersök sedan om systemet har någon lösning. | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Lösning''' | '''Lösning''' | ||
- | Vektorn <math>\boldsymbol{u}_1</math> är en linjärkombination av <math>\boldsymbol{v}_1</math> och <math>\boldsymbol{v} | + | Vektorn <math>\boldsymbol{u}_1</math> är en linjärkombination av <math>\boldsymbol{v}_1</math> och <math>\boldsymbol{v}_2</math> om det finns tal <math>\lambda_1</math> och <math>\lambda_2</math> så att |
Nuvarande version
Tips 1
Beskriv \displaystyle \boldsymbol{u}_1 som en linjärkombination (se definition 2.1) av \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2
Tips 2
Linjärkombinationen blirTips 3
Multiplicera in \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 och skriv systemet på matrisform. Undersök sedan om systemet har någon lösning.
Lösning
Vektorn \displaystyle \boldsymbol{u}_1 är en linjärkombination av \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 om det finns tal \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 så att
Vi multiplicerar in \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 och skriver systemet på matrisform:
\left\{\begin{array}{rcrcr}2\lambda_1&+&\lambda_2&=&4\\\lambda_1&+&\lambda_2&=&1\\-\lambda_1&+&\lambda_2&=&-5\end{array}\right.
\Leftrightarrow \left(\begin{array}{rr} 2&1\\ 1&1\\ -1&1 \end{array}\right|\left.\begin{array}{r} 4\\ 1\\ -5\end{array}\right).
Systemet har lösningen \displaystyle \lambda_1=3 och
\displaystyle \lambda_2=-2. Alltså är \displaystyle \boldsymbol{u}_1=3\boldsymbol{v}_1 -2\boldsymbol{v}_2 en linjärkombination av
\displaystyle \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}, dvs \displaystyle \boldsymbol{u}_1 är inom
räckhåll för \displaystyle \boldsymbol{v}_1 och \displaystyle \boldsymbol{v}_2 och ligger därför i samma plan som spänns upp av
\displaystyle \{\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\}.