Tips och lösning till U 11.16
SamverkanLinalgLIU
| Rad 2: | Rad 2: | ||
'''Tips 1''' | '''Tips 1''' | ||
| - | + | För att finna dimensionen för snittet så söker du de vektorer som tillhör båda mängderna. | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 2''' | '''Tips 2''' | ||
| - | + | En vektor <math> \boldsymbol{x} </math> tillhör <math> U </math> om det finns tal | |
| + | <math> \lambda_1 </math> och <math> \lambda_2 </math> så att | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \boldsymbol{x}=\lambda_1 (1,2,0,1)^t + \lambda_2(1,1,1,0)^t. | ||
| + | </math></center> | ||
| + | Vektorn <math> \boldsymbol{x} </math> tillhör också <math> V </math> om det finns tal | ||
| + | <math> \mu_1 </math> och <math> \mu_2 </math> så att | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \boldsymbol{x}=\mu_1(1,0,1,0)^t+\mu_2(1,3,0,1)^t. | ||
| + | </math></center>Sätt nu upp ett samband som gör att båda villkoren är uppfyllda. | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 3''' | '''Tips 3''' | ||
| - | + | Du får då ekvationssystemet <center><math> | |
| + | \lambda_1 (1,2,0,1)^t + | ||
| + | \lambda_2(1,1,1,0)^t-\mu_1(1,0,1,0)^t-\mu_2(1,3,0,1)^t=(0,0,0,0)^t | ||
| + | </math></center> | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Lösning''' | '''Lösning''' | ||
| Rad 34: | Rad 46: | ||
<center><math> | <center><math> | ||
\lambda_1 (1,2,0,1)^t + | \lambda_1 (1,2,0,1)^t + | ||
| - | \lambda_2(1,1,1,0)^t-\mu_1(1,0,1,0)^t-\mu_2(1,3,0,1)^t,\qquad(**) | + | \lambda_2(1,1,1,0)^t-\mu_1(1,0,1,0)^t-\mu_2(1,3,0,1)^t=(0,0,0,0)^t\qquad(**) |
</math></center> | </math></center> | ||
dvs | dvs | ||
Nuvarande version
Tips 1
För att finna dimensionen för snittet så söker du de vektorer som tillhör båda mängderna.
Tips 2
En vektor \displaystyle \boldsymbol{x} tillhör \displaystyle U om det finns tal \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 så att
\boldsymbol{x}=\lambda_1 (1,2,0,1)^t + \lambda_2(1,1,1,0)^t.
Vektorn \displaystyle \boldsymbol{x} tillhör också \displaystyle V om det finns tal \displaystyle \mu_1 och \displaystyle \mu_2 så att
\boldsymbol{x}=\mu_1(1,0,1,0)^t+\mu_2(1,3,0,1)^t.
Tips 3
Du får då ekvationssystemet\lambda_1 (1,2,0,1)^t + \lambda_2(1,1,1,0)^t-\mu_1(1,0,1,0)^t-\mu_2(1,3,0,1)^t=(0,0,0,0)^t
Lösning
En vektor \displaystyle \boldsymbol{x} tillhör \displaystyle U om det finns tal \displaystyle \lambda_1 och \displaystyle \lambda_2 så att
\boldsymbol{x}=\lambda_1 (1,2,0,1)^t + \lambda_2(1,1,1,0)^t.
Vektorn \displaystyle \boldsymbol{x} tillhör också \displaystyle V om det finns tal \displaystyle \mu_1 och \displaystyle \mu_2 så att
\boldsymbol{x}=\mu_1(1,0,1,0)^t+\mu_2(1,3,0,1)^t.
Detta betyder att
\lambda_1 (1,2,0,1)^t + \lambda_2(1,1,1,0)^t=\mu_1(1,0,1,0)^t+\mu_2(1,3,0,1)^t,\qquad(*)
dvs
\lambda_1 (1,2,0,1)^t + \lambda_2(1,1,1,0)^t-\mu_1(1,0,1,0)^t-\mu_2(1,3,0,1)^t=(0,0,0,0)^t\qquad(**)
dvs
\left(\begin{array}{rrrr}1&1&-1&-1\\2&1&0&-3\\0&1&-1&0\\1&0&0&-1\end{array}\right|\left. \begin{array}{l} 0\\0\\0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrrr}1&1&-1&-1\\0&-1&2&-1\\0&1&-1&0\\0&-1&1&0\end{array}\right|\left. \begin{array}{l}0\\0\\0\\0\end{array}\right)
Vi ser att sista raden blir en nollrad efter radoperationer. Vi sätter \displaystyle \mu=t . Då får vi \displaystyle \lambda_2=t . Rad 2 ger att \displaystyle \mu_2=t och rad 1 ger att \displaystyle \lambda_1=t . Vi sätter in dessa värden i (*) eller i (**) och får att \displaystyle \boldsymbol{x}=t(2,3,1,1)^t . Alltså är \displaystyle U\cap V=[(2,3,1,1)^t] och \displaystyle \dim U\cap V=1 .
