Tips och lösning till U 11.9
SamverkanLinalgLIU
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''' Mängden <math> U </math> bes...) |
|||
| Rad 2: | Rad 2: | ||
'''Tips 1''' | '''Tips 1''' | ||
| - | + | Vi söker alltså de punkter som förutom att de tillhör linjära höljet <math> U </math> också ligger i de två hyperplanen, | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 2''' | '''Tips 2''' | ||
| - | + | En vektor som ligger i <math> U </math> kan skrivas <center><math> | |
| + | \begin{array}{rcl} | ||
| + | \boldsymbol{x}&=&\lambda_1\boldsymbol{u}_1+\lambda_2\boldsymbol{u}_2+\lambda_3\boldsymbol{u}_3\\ | ||
| + | &=&\lambda_1(1,1,1,1)^t+\lambda_2(1,1,1,0)^t+\lambda_3(1,1,0,1)^t\\ | ||
| + | &=&(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3,\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3,\lambda_1+\lambda_2,\lambda_1+\lambda_3)^t \qquad\qquad\qquad(*) | ||
| + | \end{array} | ||
| + | </math></center>. Vilka är villkoren för att denna vektor skall ligga i de två hyperplanen? | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 3''' | '''Tips 3''' | ||
| - | + | De två hyperplanen ger oss ekvationssystemet <center><math> | |
| + | \left\{\begin{array}{rcl} (\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)+(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3) | ||
| + | +(\lambda_1+\lambda_2)+(\lambda_1+\lambda_3)&=&0\\ | ||
| + | (\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)+2(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3) | ||
| + | +(\lambda_1+\lambda_2)+3(\lambda_1+\lambda_3)&=&0 | ||
| + | \end{array}\right | ||
| + | </math></center>. Om vi löser detta system får vi villkor på de olika <math>\lambda</math>-värdena. Dessa användes sedan för att beräkna <math>\boldsymbol{x}</math>. | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Lösning''' | '''Lösning''' | ||
Versionen från 1 november 2010 kl. 17.10
Tips 1
Vi söker alltså de punkter som förutom att de tillhör linjära höljet \displaystyle U också ligger i de två hyperplanen,
Tips 2
En vektor som ligger i \displaystyle U kan skrivas\begin{array}{rcl} \boldsymbol{x}&=&\lambda_1\boldsymbol{u}_1+\lambda_2\boldsymbol{u}_2+\lambda_3\boldsymbol{u}_3\\ &=&\lambda_1(1,1,1,1)^t+\lambda_2(1,1,1,0)^t+\lambda_3(1,1,0,1)^t\\ &=&(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3,\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3,\lambda_1+\lambda_2,\lambda_1+\lambda_3)^t \qquad\qquad\qquad(*) \end{array}
Tips 3
De två hyperplanen ger oss ekvationssystemet\left\{\begin{array}{rcl} (\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)+(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3) +(\lambda_1+\lambda_2)+(\lambda_1+\lambda_3)&=&0\\ (\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)+2(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3) +(\lambda_1+\lambda_2)+3(\lambda_1+\lambda_3)&=&0 \end{array}\right
Lösning
Mängden \displaystyle U består av alla vektorer
\displaystyle \boldsymbol{x}=(x_1,x_2,x_3,x_4)^t\in {\bf R}^4 som är en
linjärkombination av \displaystyle \boldsymbol{u}_1 , \displaystyle \boldsymbol{u}_2 och
\displaystyle \boldsymbol{u}_3 , dvs
\begin{array}{rcl} \boldsymbol{x}&=&\lambda_1\boldsymbol{u}_1+\lambda_2\boldsymbol{u}_2+\lambda_3\boldsymbol{u}_3\\ &=&\lambda_1(1,1,1,1)^t+\lambda_2(1,1,1,0)^t+\lambda_3(1,1,0,1)^t\\ &=&(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3,\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3,\lambda_1+\lambda_2,\lambda_1+\lambda_3)^t \qquad\qquad\qquad(*) \end{array}
Mängden \displaystyle V är snittmängden mellan mängderna
V_1=\{\boldsymbol{x}\in {\bf R}^4: x_1+x_2+x_3+x_4=0\}
och
V_2=\{\boldsymbol{x}\in{\bf R}^4: x_1+2x_2+x_3+3x_4=0\},
dvs \displaystyle V=V_1\cap V_2 . Geomtriskt betyder \displaystyle V skärningsmängden mellan hyperplanen \displaystyle V_1 och \displaystyle V_2 . Vi söker alltså dem vektorer \displaystyle \boldsymbol{x}\in U\cap V , dvs \displaystyle \boldsymbol{x}\in U\cap V_1\cap V_2 , dvs vi söker alla dem vektorer som ligger i alla tre rummen.
\left\{\begin{array}{rcl} (\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)+(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3) +(\lambda_1+\lambda_2)+(\lambda_1+\lambda_3)&=&0\\ (\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3)+2(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3) +(\lambda_1+\lambda_2)+3(\lambda_1+\lambda_3)&=&0 \end{array}\right.
\Leftrightarrow
\left\{\begin{array}{rcl} 4\lambda_1+3\lambda_2+3\lambda_3&=&0\\ 7\lambda_1+4\lambda_2+6\lambda_3&=&0\\ \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl} 4\lambda_1+3\lambda_2+3\lambda_3&=&0\\ -\lambda_1-2\lambda_2&=&0\\ \end{array}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{rcl} \lambda_1&=&-6t\\ \lambda_2&=&3t\\ \lambda_3&=&5t\\ \end{array}\right.
Vi sätter in värdena på \displaystyle \lambda som vi har fått i uttrycket \displaystyle (*) och får att \displaystyle \boldsymbol{x}=t(2,2,-3,-1)^t . Vi har därmed visat att \displaystyle U\cap V=[2,2,-3,-1] .
