Tips och lösning till U 13.7d
SamverkanLinalgLIU
| Rad 2: | Rad 2: | ||
'''Tips 1''' | '''Tips 1''' | ||
| - | + | Det gäller att en vektor <math> \boldsymbol{u} </math> ges i basen <math> \underline{\boldsymbol{v}} </math> | |
| + | enligt | ||
| + | <center><math> | ||
| + | \boldsymbol{u}=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3+\lambda_4\boldsymbol{v}_4. | ||
| + | </math></center> | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 2''' | '''Tips 2''' | ||
| - | + | Återstår nu att beräkna koordinaterna. Observera att beräkningen kan utnyttja att du har en ON-bas. | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 3''' | '''Tips 3''' | ||
| - | + | Vid ON-bas gäller att koordinaterna beräknas med hjälp av skalärprodukten <center><math> | |
| + | \lambda_j=(\boldsymbol{u} | \boldsymbol{v}_j ),\qquad j=1,2,3,4, | ||
| + | </math></center> | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Lösning''' | '''Lösning''' | ||
Nuvarande version
Tips 1
Det gäller att en vektor \displaystyle \boldsymbol{u} ges i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{v}} enligt
\boldsymbol{u}=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3+\lambda_4\boldsymbol{v}_4.
Tips 2
Återstår nu att beräkna koordinaterna. Observera att beräkningen kan utnyttja att du har en ON-bas.
Tips 3
Vid ON-bas gäller att koordinaterna beräknas med hjälp av skalärprodukten\lambda_j=(\boldsymbol{u} | \boldsymbol{v}_j ),\qquad j=1,2,3,4,
Lösning
Vektorn \displaystyle \boldsymbol{u} ges i basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{v}} enligt
\boldsymbol{u}=\lambda_1\boldsymbol{v}_1+\lambda_2\boldsymbol{v}_2+\lambda_3\boldsymbol{v}_3+\lambda_4\boldsymbol{v}_4.
Eftersom \displaystyle \underline{\boldsymbol{v}} är dessutom en ON-bas, så är koordinaterna klara och bestämda av
\lambda_j=(\boldsymbol{u} | \boldsymbol{v}_j ),\qquad j=1,2,3,4,
så att
\boldsymbol{u}=(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v}_1)\boldsymbol{v}_1+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v}_2)\boldsymbol{v}_2+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v}_3)\boldsymbol{v}_3+(\boldsymbol{u}|\boldsymbol{v}_4)\boldsymbol{v}_4.
Vi har att \displaystyle \lambda_1=3/2, \displaystyle \lambda_2=-1/2, \displaystyle \lambda_3=3/2 och \displaystyle \lambda_4=-1/2. Detta ger att
\boldsymbol{u}=\frac{3}{2}\boldsymbol{v}_1-\frac{1}{2}\boldsymbol{v}_2+ \frac{3}{2}\boldsymbol{v}_3-\frac{1}{2}\boldsymbol{v}_4.
Vektorn \displaystyle \boldsymbol{u} har alltså koordinaterna \displaystyle \frac{1}{2}\left(\begin{array}{r}3\\-1\\3\\-1\\\end{array}\right) i ON-basen \displaystyle \underline{\boldsymbol{v}} .
