Tips och lösning till U 13.8b

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (5 november 2010 kl. 19.49) (redigera) (ogör)
 
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Definitionen ger oss sambandet <math> A^tA=AA^t=E </math>
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
Det räcker att se till att sambandet fungerar för det ena fallet. Om så är fallet så gäller även det andra sambandet. Obsevera att transponatet i detta fall fungerar som invers matris och dessutom är det.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
Vi ska alltså beräkna a,b och c så att <center><math>
 +
\frac{1}{7} \begin{pmatrix} 2&3&6\\6&2&a\\b&c&2\end{pmatrix}
 +
\cdot \frac{1}{7}\begin{pmatrix} 2&6&b\\3&2&c\\6&a&2\end{pmatrix}
 +
=\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}
 +
</math></center>
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''

Nuvarande version

Tips 1

Definitionen ger oss sambandet \displaystyle A^tA=AA^t=E

Tips 2

Det räcker att se till att sambandet fungerar för det ena fallet. Om så är fallet så gäller även det andra sambandet. Obsevera att transponatet i detta fall fungerar som invers matris och dessutom är det.

Tips 3

Vi ska alltså beräkna a,b och c så att
\displaystyle

\frac{1}{7} \begin{pmatrix} 2&3&6\\6&2&a\\b&c&2\end{pmatrix} \cdot \frac{1}{7}\begin{pmatrix} 2&6&b\\3&2&c\\6&a&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

Lösning


Enligt Definition 6.36 så är en matris \displaystyle A är ortogonal om \displaystyle A^tA=AA^t=E , dvs om

\displaystyle

\frac{1}{7} \begin{pmatrix} 2&3&6\\6&2&a\\b&c&2\end{pmatrix} \cdot \frac{1}{7}\begin{pmatrix} 2&6&b\\3&2&c\\6&a&2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

\displaystyle

\Leftrightarrow

\displaystyle

\begin{pmatrix} 49&18+6a&18+6a\\18+6a&40+a^2&2a+6b+2c\\2a+6b+2c&2a+6b+2c&2a+6b+2c\end{pmatrix} =49 \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}

Vid jämförelse av elementen på respektive plats i varje led ger att \displaystyle a=-3 , \displaystyle b=3 och \displaystyle c=-6 . Alltså är matrisen

\displaystyle

\frac{1}{7}\begin{pmatrix} 2&6&3\\3&2&-6\\6&-3&2\end{pmatrix}.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_13.8b