Tips och lösning till U 15.3
SamverkanLinalgLIU
Rad 2: | Rad 2: | ||
'''Tips 1''' | '''Tips 1''' | ||
- | + | Metodiken är densamma om du skall anpassa en rät linje eller en andragradskurva till dina mätdata. | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 2''' | '''Tips 2''' | ||
- | + | I detta fall är det tre konstanter som skall beräknas a,b och c. För att få fram matrisen A sätter du in de fyra (x,y)-par du fått i andragradsuttrycket. Detta ger fyra ekvationer i ett ekvationssystem som du skriver om i matrisform. Nu har du matrisen A. | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 3''' | '''Tips 3''' | ||
- | + | Du har nu ekvationssystemet på formen <center><math> | |
+ | \left(\begin{array}{rrr}1&-1&1\\0&0&1\\1&1&1\\4&2&1\end{array}\right) | ||
+ | \left(\begin{array}{r} a\\b\\c\end{array}\right)= | ||
+ | \left(\begin{array}{r} 2\\2\\1\\0\end{array}\right) | ||
+ | \Leftrightarrow A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}. | ||
+ | </math></center> Detta system saknar lösning. Vi löser då i stället normalekvationen <center><math> | ||
+ | A^tA\boldsymbol{x}=A^t\boldsymbol{b}</math></center> | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Lösning''' | '''Lösning''' |
Nuvarande version
Tips 1
Metodiken är densamma om du skall anpassa en rät linje eller en andragradskurva till dina mätdata.
Tips 2
I detta fall är det tre konstanter som skall beräknas a,b och c. För att få fram matrisen A sätter du in de fyra (x,y)-par du fått i andragradsuttrycket. Detta ger fyra ekvationer i ett ekvationssystem som du skriver om i matrisform. Nu har du matrisen A.
Tips 3
Du har nu ekvationssystemet på formen\left(\begin{array}{rrr}1&-1&1\\0&0&1\\1&1&1\\4&2&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} a\\b\\c\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r} 2\\2\\1\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}.
Lösning
Vi sätter vi in punkterna i andragradskurva \displaystyle y=ax^2+bx+c och får därmed matrisekvationen
\left(\begin{array}{rrr}1&-1&1\\0&0&1\\1&1&1\\4&2&1\end{array}\right) \left(\begin{array}{r} a\\b\\c\end{array}\right)= \left(\begin{array}{r} 2\\2\\1\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}.
Detta system saknar lösning så vi löser normalekvationen
A^tA\boldsymbol{x}=A^t\boldsymbol{b} \Leftrightarrow \left(\begin{array}{rrr}0&2&-6\\0&10&-10\\6&2&4\end{array}\right|\left. \begin{array}{r}-12\\17\\5\end{array}\right).
Vi får att \displaystyle a=-\frac{5}{20} , \displaystyle b=-\frac{9}{20} och \displaystyle c=\frac{37}{20} .