Tips och lösning till U 22.2c

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
Nuvarande version (16 november 2010 kl. 17.05) (redigera) (ogör)
 
Rad 2: Rad 2:
'''Tips 1'''
'''Tips 1'''
-
Hej 1
+
Du skall alltså visa att ekvationen <math>
 +
F(\boldsymbol{v}_3)=2\boldsymbol{v}_3\</math> har en lösning.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 2'''
'''Tips 2'''
-
Hej 2
+
Skriv nu om ekvationen på matrisform. Då erhåller du efter lite omskrivning <math>(A-2E)X_3=\boldsymbol{0},
 +
</math>
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Tips 3'''
'''Tips 3'''
-
Hej 3
+
Genom att nu sätta in den givna matrisen och enhetsmatrisen får du ett ekvationssystem vars lösning du söker.
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
Rad 16: Rad 18:
-
<math>\lambda_3=2 </math> är ett egenvärde till $F$ om det finns en tillhörande egenvektor <math>\boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}}X_3 </math>, så att
+
<math>\lambda_3=2 </math> är ett egenvärde till <math>F</math> om det finns en tillhörande egenvektor <math>\boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}}X_3 </math>, så att

Nuvarande version

Tips 1

Du skall alltså visa att ekvationen \displaystyle F(\boldsymbol{v}_3)=2\boldsymbol{v}_3\ har en lösning.

Tips 2

Skriv nu om ekvationen på matrisform. Då erhåller du efter lite omskrivning \displaystyle (A-2E)X_3=\boldsymbol{0},

Tips 3

Genom att nu sätta in den givna matrisen och enhetsmatrisen får du ett ekvationssystem vars lösning du söker.

Lösning


\displaystyle \lambda_3=2 är ett egenvärde till \displaystyle F om det finns en tillhörande egenvektor \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}}X_3 , så att


\displaystyle

F(\boldsymbol{v}_3)=2\boldsymbol{v}_3\Leftrightarrow AX_3=2X_3\Leftrightarrow AX_3-2X_3=\boldsymbol{0}\Leftrightarrow(A-2E)X_3=\boldsymbol{0},


dvs


\displaystyle

\left\{\left( \begin{array}{rrr} 1& -1& -1 \\ -2& 0& 1 \\ 2& 2& 1 \end{array}\right) -2 \left( \begin{array}{rrr} 1& 0& 0 \\ 0& 1& 0 \\ 0& 0& 1 \end{array}\right)\right\} \left(\begin{array}{r} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array}\right)=\left( \begin{array}{r} 0\\ 0 \\0\end{array}\right)


\displaystyle \Leftrightarrow


\displaystyle

\left(\begin{array}{rrr}-1&-1&-1\\-2&-2&1\\2&2&-1\end{array}\right|\left. \begin{array}{r}0\\0\\0\end{array}\right) \Leftrightarrow X_3=t \left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right).


Alltså är \displaystyle \boldsymbol{v}_3=\underline{\boldsymbol{e}} \left(\begin{array}{r} -1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right) .

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_22.2c