Tips och lösning till U 22.31
SamverkanLinalgLIU
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''') |
|||
Rad 13: | Rad 13: | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Lösning''' | '''Lösning''' | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | Vi söker gemensamma punkter mellan ytan <math> Q=9 </math> och | ||
+ | enhetssfären <math> S </math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Ytan <math> Q=9\Leftrightarrow X^tAX=9 </math>, där <math> A </math> | ||
+ | har egenvärden <math> \lambda_1=0 </math>, <math> \lambda_2=\lambda_3=9 </math>. | ||
+ | |||
+ | Tillhörande egenrum är <math> E_{\lambda=0}=[(2,1,-2)^t] </math>, | ||
+ | <math> E_{\lambda=9}=[(1,2,2)^t,(2,-2,1)^t] </math>. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | I kanonisk bas är <math> Q=9y_2^2+9y_3^2=9 </math> och | ||
+ | enhetssfären <math> S </math> är <math> y_1^2+y_2^2+y_3^2=1 </math>. | ||
+ | |||
+ | Gemensamma punkter sökes bland | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <center><math> | ||
+ | \left\{\begin{array}{rcr}9y_2^2+9y_3^2&=&9\\y_1^2+y_2^2+y_3^2&=&1\end{array}\right. | ||
+ | </math></center> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | som har lösningen <math> y_1=0 </math>, <math> y_2^2+y_3^2=1 </math> | ||
+ | som i gamla basen har koordinaterna | ||
+ | |||
+ | |||
+ | <center><math> | ||
+ | 0=y_1=(y_1\ y_2\ y_3) | ||
+ | \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right) | ||
+ | =Y^t \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right) | ||
+ | =X^tT \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)=2x_1+x_2-2x_3. | ||
+ | </math></center> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | Alltså ges de gemensamma punkterna mellan ytorna av skärningen mellan | ||
+ | planet <math> 2x_1+x_2-2x_3=0 </math> och enhetssfären. |
Versionen från 20 september 2010 kl. 09.34
Tips 1
Hej 1
Tips 2
Hej 2
Tips 3
Hej 3
Lösning
Vi söker gemensamma punkter mellan ytan \displaystyle Q=9 och enhetssfären \displaystyle S .
Ytan \displaystyle Q=9\Leftrightarrow X^tAX=9 , där \displaystyle A
har egenvärden \displaystyle \lambda_1=0 , \displaystyle \lambda_2=\lambda_3=9 .
Tillhörande egenrum är \displaystyle E_{\lambda=0}=[(2,1,-2)^t] , \displaystyle E_{\lambda=9}=[(1,2,2)^t,(2,-2,1)^t] .
I kanonisk bas är \displaystyle Q=9y_2^2+9y_3^2=9 och
enhetssfären \displaystyle S är \displaystyle y_1^2+y_2^2+y_3^2=1 .
Gemensamma punkter sökes bland
\left\{\begin{array}{rcr}9y_2^2+9y_3^2&=&9\\y_1^2+y_2^2+y_3^2&=&1\end{array}\right.
som har lösningen \displaystyle y_1=0 , \displaystyle y_2^2+y_3^2=1
som i gamla basen har koordinaterna
0=y_1=(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right) =Y^t \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right) =X^tT \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)=2x_1+x_2-2x_3.
Alltså ges de gemensamma punkterna mellan ytorna av skärningen mellan
planet \displaystyle 2x_1+x_2-2x_3=0 och enhetssfären.