Tips och lösning till U 22.31

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''')
Rad 13: Rad 13:
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
 +
 +
 +
 +
Vi söker gemensamma punkter mellan ytan <math> Q=9 </math> och
 +
enhetssfären <math> S </math>.
 +
 +
 +
Ytan <math> Q=9\Leftrightarrow X^tAX=9 </math>, där <math> A </math>
 +
har egenvärden <math> \lambda_1=0 </math>, <math> \lambda_2=\lambda_3=9 </math>.
 +
 +
Tillhörande egenrum är <math> E_{\lambda=0}=[(2,1,-2)^t] </math>,
 +
<math> E_{\lambda=9}=[(1,2,2)^t,(2,-2,1)^t] </math>.
 +
 +
 +
I kanonisk bas är <math> Q=9y_2^2+9y_3^2=9 </math> och
 +
enhetssfären <math> S </math> är <math> y_1^2+y_2^2+y_3^2=1 </math>.
 +
 +
Gemensamma punkter sökes bland
 +
 +
 +
<center><math>
 +
\left\{\begin{array}{rcr}9y_2^2+9y_3^2&=&9\\y_1^2+y_2^2+y_3^2&=&1\end{array}\right.
 +
</math></center>
 +
 +
 +
som har lösningen <math> y_1=0 </math>, <math> y_2^2+y_3^2=1 </math>
 +
som i gamla basen har koordinaterna
 +
 +
 +
<center><math>
 +
0=y_1=(y_1\ y_2\ y_3)
 +
\left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)
 +
=Y^t \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)
 +
=X^tT \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)=2x_1+x_2-2x_3.
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Alltså ges de gemensamma punkterna mellan ytorna av skärningen mellan
 +
planet <math> 2x_1+x_2-2x_3=0 </math> och enhetssfären.

Versionen från 20 september 2010 kl. 09.34

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning


Vi söker gemensamma punkter mellan ytan \displaystyle Q=9 och enhetssfären \displaystyle S .


Ytan \displaystyle Q=9\Leftrightarrow X^tAX=9 , där \displaystyle A har egenvärden \displaystyle \lambda_1=0 , \displaystyle \lambda_2=\lambda_3=9 .

Tillhörande egenrum är \displaystyle E_{\lambda=0}=[(2,1,-2)^t] , \displaystyle E_{\lambda=9}=[(1,2,2)^t,(2,-2,1)^t] .


I kanonisk bas är \displaystyle Q=9y_2^2+9y_3^2=9 och enhetssfären \displaystyle S är \displaystyle y_1^2+y_2^2+y_3^2=1 .

Gemensamma punkter sökes bland


\displaystyle

\left\{\begin{array}{rcr}9y_2^2+9y_3^2&=&9\\y_1^2+y_2^2+y_3^2&=&1\end{array}\right.


som har lösningen \displaystyle y_1=0 , \displaystyle y_2^2+y_3^2=1 som i gamla basen har koordinaterna


\displaystyle

0=y_1=(y_1\ y_2\ y_3) \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right) =Y^t \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right) =X^tT \left(\begin{array}{r}1\\0\\0\end{array}\right)=2x_1+x_2-2x_3.


Alltså ges de gemensamma punkterna mellan ytorna av skärningen mellan planet \displaystyle 2x_1+x_2-2x_3=0 och enhetssfären.

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_22.31