Tips och lösning till U 22.35
SamverkanLinalgLIU
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''') |
|||
| (En mellanliggande version visas inte.) | |||
| Rad 2: | Rad 2: | ||
'''Tips 1''' | '''Tips 1''' | ||
| - | + | I detta problem som från början är givet i matrisform skall vi bestämma två så kallade rekursiva talföljder. En talföljd kan man säga är en uppräkning av tal där vi i detta fall bestämmer ett tal i talföljden med hjälp av det föregående. För att komma igång med processen måste man ha startvärden vilka i detta fall är 2 respektive 3. För att förstå uppgiften kan det vara till hjälp att skriva upp några tal i talföljden. | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 2''' | '''Tips 2''' | ||
| - | + | Genom att diagonalisera matrisen så kan vi få samma effekt som vid lösning av system av differentialekvationer, dvs att vi kan få de två talföljderna separerade från varandra. | |
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Tips 3''' | '''Tips 3''' | ||
| - | + | Vi erhåller då resultatet <center><math> | |
| + | \frac{1}{6^n} \left(\begin{array}{r}{a_n}\\{b_n}\end{array}\right) | ||
| + | =\frac{1}{7} \left(\begin{array}{cc}{-4}&3\\1&1 \end{array}\right) | ||
| + | \left(\begin{array}{rr}{(-1/6)^n}&0\\0&{1}\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}{-1}&3\\1&4 \end{array}\right) | ||
| + | \left(\begin{array}{r}2\\3 \end{array}\right)\rightarrow2 \left(\begin{array}{r}3\\1 \end{array}\right). | ||
| + | </math></center> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | då <math> n\rightarrow\infty </math>. | ||
{{NAVCONTENT_STEP}} | {{NAVCONTENT_STEP}} | ||
'''Lösning''' | '''Lösning''' | ||
| + | |||
| + | |||
| + | |||
| + | Matrisen <math> A=\left(\begin{array}{rr} 2&12\\1&3 \end{array}\right) </math> har egenvärdena | ||
| + | <math> \lambda_1=-1 </math> och <math> \lambda_2=6 </math>. | ||
| + | Tillhörande egenrum <math> E_{\lambda=-2}=[(-4,1)^t] </math>, <math> E_{\lambda=2}=[(3,1)^t] </math>, | ||
| + | så att <math> A=TDT^{-1} </math>. | ||
| + | |||
| + | Systemet kan då skrivas | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <center><math> | ||
| + | \begin{array}{rcl} | ||
| + | \left(\begin{array}{r}\\{a_n}\\{b_n}\end{array}\right) &=&A\left(\begin{array}{r}{a_{n-1}}\\{b_{n-1}} \end{array}\right) | ||
| + | =A^n\left(\begin{array}{r}{a_0}\\{b_0}\end{array}\right) | ||
| + | =TD^nT^{-1}\left(\begin{array}{r}{a_0}\\{b_0}\end{array}\right)\\ | ||
| + | &=&\left(\begin{array}{rr}{-4}&3\\1&1 \end{array}\right) | ||
| + | \left(\begin{array}{rr}{(-1)^n}&0\\0&{6^n}\end{array}\right) | ||
| + | \frac{1}{7}\left(\begin{array}{rr}{-1}&3\\1&4 \end{array}\right) | ||
| + | \left(\begin{array}{r}2\\3 \end{array}\right). | ||
| + | \end{array} | ||
| + | </math></center> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | Då är | ||
| + | |||
| + | |||
| + | <center><math> | ||
| + | \frac{1}{6^n} \left(\begin{array}{r}{a_n}\\{b_n}\end{array}\right) | ||
| + | =\frac{1}{7} \left(\begin{array}{cc}{-4}&3\\1&1 \end{array}\right) | ||
| + | \left(\begin{array}{rr}{(-1/6)^n}&0\\0&{1}\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}{-1}&3\\1&4 \end{array}\right) | ||
| + | \left(\begin{array}{r}2\\3 \end{array}\right)\rightarrow2 \left(\begin{array}{r}3\\1 \end{array}\right). | ||
| + | </math></center> | ||
| + | |||
| + | |||
| + | då <math> n\rightarrow\infty </math>. | ||
Nuvarande version
Tips 1
I detta problem som från början är givet i matrisform skall vi bestämma två så kallade rekursiva talföljder. En talföljd kan man säga är en uppräkning av tal där vi i detta fall bestämmer ett tal i talföljden med hjälp av det föregående. För att komma igång med processen måste man ha startvärden vilka i detta fall är 2 respektive 3. För att förstå uppgiften kan det vara till hjälp att skriva upp några tal i talföljden.
Tips 2
Genom att diagonalisera matrisen så kan vi få samma effekt som vid lösning av system av differentialekvationer, dvs att vi kan få de två talföljderna separerade från varandra.
Tips 3
Vi erhåller då resultatet\frac{1}{6^n} \left(\begin{array}{r}{a_n}\\{b_n}\end{array}\right) =\frac{1}{7} \left(\begin{array}{cc}{-4}&3\\1&1 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{rr}{(-1/6)^n}&0\\0&{1}\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}{-1}&3\\1&4 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{r}2\\3 \end{array}\right)\rightarrow2 \left(\begin{array}{r}3\\1 \end{array}\right).
då \displaystyle n\rightarrow\infty .
Lösning
Matrisen \displaystyle A=\left(\begin{array}{rr} 2&12\\1&3 \end{array}\right) har egenvärdena \displaystyle \lambda_1=-1 och \displaystyle \lambda_2=6 . Tillhörande egenrum \displaystyle E_{\lambda=-2}=[(-4,1)^t] , \displaystyle E_{\lambda=2}=[(3,1)^t] , så att \displaystyle A=TDT^{-1} .
Systemet kan då skrivas
\begin{array}{rcl} \left(\begin{array}{r}\\{a_n}\\{b_n}\end{array}\right) &=&A\left(\begin{array}{r}{a_{n-1}}\\{b_{n-1}} \end{array}\right)
=A^n\left(\begin{array}{r}{a_0}\\{b_0}\end{array}\right)
=TD^nT^{-1}\left(\begin{array}{r}{a_0}\\{b_0}\end{array}\right)\\
&=&\left(\begin{array}{rr}{-4}&3\\1&1 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{rr}{(-1)^n}&0\\0&{6^n}\end{array}\right)
\frac{1}{7}\left(\begin{array}{rr}{-1}&3\\1&4 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{r}2\\3 \end{array}\right).
\end{array}
Då är
\frac{1}{6^n} \left(\begin{array}{r}{a_n}\\{b_n}\end{array}\right) =\frac{1}{7} \left(\begin{array}{cc}{-4}&3\\1&1 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{rr}{(-1/6)^n}&0\\0&{1}\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}{-1}&3\\1&4 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{r}2\\3 \end{array}\right)\rightarrow2 \left(\begin{array}{r}3\\1 \end{array}\right).
då \displaystyle n\rightarrow\infty .
