Tips och lösning till U 22.35

SamverkanLinalgLIU

(Skillnad mellan versioner)
Hoppa till: navigering, sök
(Ny sida: {{NAVCONTENT_START}} '''Tips 1''' Hej 1 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 2''' Hej 2 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Tips 3''' Hej 3 {{NAVCONTENT_STEP}} '''Lösning''')
Rad 13: Rad 13:
{{NAVCONTENT_STEP}}
{{NAVCONTENT_STEP}}
'''Lösning'''
'''Lösning'''
 +
 +
 +
 +
Matrisen <math> A=\left(\begin{array}{rr} 2&12\\1&3 \end{array}\right) </math> har egenvärdena
 +
<math> \lambda_1=-1 </math> och <math> \lambda_2=6 </math>.
 +
Tillhörande egenrum <math> E_{\lambda=-2}=[(-4,1)^t] </math>, <math> E_{\lambda=2}=[(3,1)^t] </math>,
 +
så att <math> A=TDT^{-1} </math>.
 +
 +
Systemet kan då skrivas
 +
 +
 +
<center><math>
 +
\begin{array}{rcl}
 +
\left(\begin{array}{r}\\{a_n}{b_n}\end{array}\right) &=&A\left(\begin{array}{r}{a_{n-1}}\\{b_{n-1}} \end{array}\right)
 +
=A^n\left(\begin{array}{r}{a_0}\\{b_0}\end{array}\right)
 +
=TD^nT^{-1}\left(\begin{array}{r}{a_0}\\{b_0}\end{array}\right)\\
 +
&=&\left(\begin{array}{rr}{-4}&3\\1&1 \end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{rr}{(-1)^n}&0\\0&{6^n}\end{array}\right)
 +
\frac{1}{7}\left(\begin{array}{rr}{-1}&3\\1&4 \end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r}2\\3 \end{array}\right).
 +
\end{array}
 +
</math></center>
 +
 +
 +
Då är
 +
 +
 +
<center><math>
 +
\frac{1}{6^n} \left(\begin{array}{r}{a_n}{b_n}\end{array}\right)
 +
=\frac{1}{7} \left(\begin{array}{cc}{-4}&3\\1&1 \end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{rr}{(-1/6)^n}&0\\0&{1}\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}{-1}&3\\1&4 \end{array}\right)
 +
\left(\begin{array}{r}2\\3 \end{array}\right)\rightarrow2 \left(\begin{array}{r}3\\1 \end{array}\right).
 +
</math></center>
 +
 +
 +
då <math> n\rightarrow\infty </math>.

Versionen från 20 september 2010 kl. 10.00

Tips 1

Hej 1

Tips 2

Hej 2

Tips 3

Hej 3

Lösning


Matrisen \displaystyle A=\left(\begin{array}{rr} 2&12\\1&3 \end{array}\right) har egenvärdena \displaystyle \lambda_1=-1 och \displaystyle \lambda_2=6 . Tillhörande egenrum \displaystyle E_{\lambda=-2}=[(-4,1)^t] , \displaystyle E_{\lambda=2}=[(3,1)^t] , så att \displaystyle A=TDT^{-1} .

Systemet kan då skrivas


\displaystyle

\begin{array}{rcl} \left(\begin{array}{r}\\{a_n}{b_n}\end{array}\right) &=&A\left(\begin{array}{r}{a_{n-1}}\\{b_{n-1}} \end{array}\right) 

                   =A^n\left(\begin{array}{r}{a_0}\\{b_0}\end{array}\right)
                     =TD^nT^{-1}\left(\begin{array}{r}{a_0}\\{b_0}\end{array}\right)\\
                      &=&\left(\begin{array}{rr}{-4}&3\\1&1 \end{array}\right) 
                             \left(\begin{array}{rr}{(-1)^n}&0\\0&{6^n}\end{array}\right)
                             \frac{1}{7}\left(\begin{array}{rr}{-1}&3\\1&4 \end{array}\right)
                                 \left(\begin{array}{r}2\\3 \end{array}\right).

\end{array}


Då är


\displaystyle

\frac{1}{6^n} \left(\begin{array}{r}{a_n}{b_n}\end{array}\right) =\frac{1}{7} \left(\begin{array}{cc}{-4}&3\\1&1 \end{array}\right) 

  \left(\begin{array}{rr}{(-1/6)^n}&0\\0&{1}\end{array}\right) \left(\begin{array}{rr}{-1}&3\\1&4 \end{array}\right)
      \left(\begin{array}{r}2\\3 \end{array}\right)\rightarrow2 \left(\begin{array}{r}3\\1 \end{array}\right).


då \displaystyle n\rightarrow\infty .

Den här artikeln är hämtad från http://wiki.math.se/wikis/samverkan/linalg-LIU/index.php/Tips_och_l%C3%B6sning_till_U_22.35